7.3 Пример 2
Построить эпюру изгибающих моментов для рамы, изображенной на рис.7.3, а.
Решение.
Данная
рама 9 раз статически и 6 раз кинематически
неопределима. В основной системе
смешанного метода (рис. 7.3, б) число
неизвестных сокращено до четырёх.
Особенностью данной рамы по сравнению
с рамой, рассмотренной в предыдущем
примере, является то, что она симметрична
и загружена симметричной нагрузкой.
Основная система также выбрана
симметричной с использованием групповых
неизвестных. В силу симметрии нагрузки
все кососимметричные неизвестные равны
нулю, т.е.
.
В дальнейшем для сокращения объёма
графической работы
можно рассматривать левую половину основной системы (рис.7.3, в), расположив в месте разреза горизонтального стержня опорное закрепление (ползун), обеспечивающее такие же угловые и линейные перемещения, какие имеются в целой раме при её симметричной деформации (прогиб не равен нулю, а угол поворота сечения равен нулю).
Уравнения 7.3 будут справедливы и для этой задачи. Единичные и грузовая эпюры моментов показаны на рис.7,3, г-е. Вычисление коэффициентов и свободных членов уравнений приведено ниже.
Из условия:
(рис. 7.3, д);
(рис. 7.3, г);
,
,
(рис. 7.3, е)
.
Подставляя найденные значения коэффициентов и свободных членов в уравнения, получим:
Откуда
и
Окончательная эпюра моментов построенная по выражению (7.2) показана на рис. 7.3, и.
7.4. Новая трактовка теоремы о взаимности реакций и перемещений.
Рассмотрим линейно деформируемую систему - балку (рис. 7.4, а) в двух состояниях.
В
первом состоянии в точке
приложена сила
и
в заделке (в точке
)
возникает,
помимо вертикальной реакции, не показанной
на рисунке, момент
.
Во
втором состоянии по направлению моментной
связи произошло перемещение (поворот
заделки)
.
Т.к. в линейно деформируемых системах
перемещения малы по сравнению с
генеральными размерами системы, то
можно считать, что перемещение
точки
происходит
не по дуге окружности, а по касательной
к ней в этой точке. По теореме о взаимности
работ работа внешних сил первого
состояния на перемещениях, им
соответствующих во втором состоянии,
равна работе внешних сил второго
состояния на перемещениях, им
соответствующих в первом состоянии.
Мысленно отбрасывая заделку, заменяя
её действие реакциями и учитывая, что
во втором состоянии все внешние силы
равны нулю, имеем:
(7.5)
Разделив
обе части равенства (7.5) на произведение
,
получим:
(7.6)
Введем обозначения:
и перепишем (7.6) в окончательном виде:
.
(7.7)
Смысл
величин
и
-
можно трактовать двояко:
1. Это
значения реакции
при
и
перемещения
при
.
Такая трактовка является традиционной.
2.
Учитывая, что величины
и
,
а
также
и
прямо
пропорциональны друг другу, их
отношения
и
можно считать
коэффициентами
пропорциональности, или угловыми
коэффициентами
прямых на рис. 4, б, т.е.
,
(7.8)
При
любой из этих трактовок смысла величин
и
,
равенство (7.7) выражает теорему о
взаимности реакций и перемещений.
Формулировок же теоремы можно привести
две.
1. Реакция,
возникающая в
-й
связи от единичной силы, приложенной
в точке
,
равна взятому с обратным знаком
перемещению точки
по направлению указанной силы от
единичного перемещения связи
по
её направлению.
2. Коэффициенты
пропорциональности между реакцией,
возникающей в
-й
связи, и силой, её вызывающей, приложенной
в точке
,
а также перемещением точки
по
направлению указанной силы и вызывающим
его перемещением связи
по направлению последней, равны по
величине и противоположны по знаку.
Рис. 7.4
Возвращаясь
к примеру с балкой, изображенной на рис.
7.4, а, получаем, что
,
а
.
Если пользоваться первой трактовкой
величины
,
то столь большое её значение может
вызвать подозрение в правильности
вычислений, т.к. оно не вяжется с
предположением о малости перемещений.
Имея в виду второй смысл
(коэффициент
пропорциональности), подобного
заблуждения можно избежать, т.к. численное
значение этого коэффициента указывает
лишь на отношение перемещений
и
,
а
не на величину каждого из них.
Вторая
формулировка теоремы не допускает той
неоднозначности, которая возникает при
использовании её традиционной трактовки
в ответе, например, на вопрос, что означает
равенство единице углового перемещения
.
Так как перемещения должны быть малы,
то это не один радиан,
а некоторая другая малая величина,
соответствующая линейной постановке
задачи. Применение для одной и той же
величины в одной задаче двух разных
единиц измерения, имеющих одинаковую
размерность, нельзя признать удачным.
Изложенный
выше подход может быть применён и к
теоремам о взаимности перемещений
(
=
)и
взаимности реакций (
=
).
Трактовка вызванных единичными воздействиями перемещений и реакций как коэффициентов пропорциональности может оказаться полезной, особенно для начинающих изучать механику деформируемого тела, при анализе результатов вычислений и определении размерностей участвующих в расчётах величин.