Глава 11. Расчет плоских систем и, рам на устойчивость методом перемещений

11.1 Основные понятия и уравнения

Найдем критическую нагрузку плоской рамы, используя метод перемещений в канонической форме. Применим статический метод определения критической силы (метод Эйлера), при следующих допущениях:

1. Нагрузка рамы предполагается приложенной только в узлах (узловая нагрузка) и является однопараметричеcкой, т.е. вcе приложенные продольные силы изменяются одновременно пропорционально одному параметру. Таким образом, для определения критической силы достаточно найти критическое значение параметра нагрузки.

2. Предположение об узловой нагрузке и не учете изменения длин стержней от изгиба, влияния и позволят считать напряженное состояние рамы перед потерей устойчивости безизгибным, т.е. стержни рамы перед потерей устойчивости сжаты, либо растянуты, либо не нагружены.

3. Считаем, что критическое состояние достигается в упругой области работы материала.

4. Рассматривается плоская рама, нагруженная системой сил, лежащей в ее плоскости. Принято, что при потере устойчивости деформации рамы происходят в ее плоскости, т.е. предполагается, что изгибная жесткость элементов рамы из ее плоскости достаточно велика. Тогда при потере устойчивости перемещения всех элементов рамы будут определяться углами поворота жестких узлов рамы и линейными смещениями узлов, если они возможны, т.е. значениями неизвестных метода перемещений.

Выбор основной системы при расчете рам на устойчивость ничем не отличается от выбора основной системы при статическом расчете рамы методом перемещений.

Составим канонические уравнения метода перемещений. Их особенностью при узловой нагрузке будет отсутствие всех свободных членов, т.е. они представляют собой в этом случае линейные однородные алгебраические уравнения:

(11.1)

Канонические уравнения метода перемещений являются системой алгебраических уравнений статического равновесия системы с числом степеней свободы, равным числу неизвестных перемеще­ний.

Система этих уравнений удовлетворится в двух случаях

1. Все неизвестные равны нулю . Это соответствует отсутствию изгиба стержней рамы, т.е. равновесию рамы без деформации ее стержней, оно будет устойчивым при силах, меньших критических, и неустойчивым при силах, больших критических.

2. Неизвестные перемещения отличны от нуля. При этом стерж­ни рамы изогнуты.

Условие ненулевого решения, т.е. отклоненного смежного со­стояния рамы при потере устойчивости, согласно статическому ме­тоду определения критической силы заключается в равенстве нулю определителя системы канонических уравнений метода перемещений:

(11.2)

Коэффициенты системы (11.1) зависят от продольных усилий в стержнях рамы. Поэтому условие (11.2) является уравнением устойчивости: из него можно найти значение критической нагруз­ки рамы.

В соответствии со статическим критерием устойчивости мини­мальное значение параметра нагрузки, при котором наряду с первоначальными неотклоненным равновесным состоянием системы существует отклоненное смежное равновесное состояние системы, называемое - критическим.

Реакции от единичных перемещений в связях, введенных в основной системе, т.е. коэффициенты , следует вычислять с учетом влияния осевых сил (сжатия или растяжения) и, конечно, граничных условий. Эта задача может быть решена различными методами, в том числе, методом сил. Результаты решения представляются в форме, сходной с аналогичными результатами, используемыми при статическом расчете рам методом перемещений.

Реактивные моменты и силы на концах стержня при различных закреплениях его концов от единичных поворотов и смещений, вид эпюры изгибающих моментов, а также формулы для коэффициентов, учитывающих сжимающие силы, приведены в табл.1.11.

Таблица 11.1

Значения функций и в зависимости от параметра , учитывающего величину сжимающей силы, длину стержня и его жесткость, даны в табл. приложения.

Подстановка в уравнение (11.2) выражений коэффициентов и раскрытие определителя позволяют получить уравнение устойчивости

(11.3)

Это уравнение трансцендентное, сложное для решения. Поэтому желательно сначала получить какое-либо приближенное значение корня или диапазон его существования.

Для оценки критического значения параметра нагрузки можно предварительно рассчитать на устойчивость две рамы, полученные из заданной путем их преобразования, так, чтобы число неизвестных метода перемещений уменьшилось, причем одна рама должна иметь дополнительную связь - ее устойчивость будет выше, чем у заданной, а другая - одну удаленную связь - ее устойчивость будет ниже. Так можно произвести оценки параметра устойчивости сверху и снизу .

Параметр устойчивости заданной рамы будет лежать между значениями, полученными при этих оценках, т.е. .

Оценивать критический параметр устойчивости закрепленных рам (т.е. рам, шарнирная схема которых неизменяема) можно таким образом: постановкой шарнира разбить раму из две части, оценить параметр устойчивости каждой из частей в отдельности. Искомый критический параметр заданной системы будет лежать между критическими параметрами двух частей рамы.

Этот прием особенно удобен в том случае, когда заданная рама имеет степень кинематической неопределимости, равную двум.

Форму потери устойчивости можно установить следующим образом. В систему (11.1) подставить найденное значение корня , тогда, очевидно, определитель, составленный из коэффициентов этой системы, равен нулю, а система уравнений (11.1) имеет бесконечное число решений и не является линейно независимой, т.е. одно из уравнений может быть получено как линейная комбинация других уравнений. Если же одному их неизвестных, например , придать какое-либо значение (наиболее удобно принять ), то, используя уравнений системы (11.1), можно получить остальные неизвестные . Это аналогично определению отношений , которые и характеризуют форму потери устойчивости .

Возможна также локальная потеря устойчивости, т.е. потеря устойчивости отдельными стержнями до потери устойчивости всей рамы в целом (при ). Поэтому необходимо также вычис­лить параметры критических сил таких сжатых стержней и срав­нить их с параметром критической нагрузки обшей потери устой­чивости рамы.