Скачиваний:
45
Добавлен:
01.05.2019
Размер:
25.51 Mб
Скачать

Глава 2. Расчет плоских статически определимых ферм

2.1 Определение усилий в стержнях фермы от постоянной нагрузки

Ферма это один из видов стержневых систем, состоящих из элементов сходящихся в узлах, как правило, жестко соединенных заклепками, болтами, сваркой и др.

В дальнейшем рассматриваем расчетную схему фермы, представляющую собой геометрически неизменяемую шарнирно - стержневую систему с узловой передачей нагрузки.

Определение опорных реакций

Воспользуемся уравнениями статики, составив суммы моментов относительно опор (рис. 2.1):

Отсюда

отсюда

Проверка:

Рис. 2.1 Определение усилий в стержнях фермы от постоянной нагрузки

Определение усилий способом моментной точки

Усилие (сечение I-I). Усилие, в стержне, находим, используя метод сечений. Моментную точку получаем на пе­ресечении линий действия усилий и N6. Тогда усилие может быть найдено из суммы моментов всех сил, приложенных к левой отсеченной части фермы относительно точки .

где

Усилие (сечение I-I). Моментная точка получилась на пересечении усилий и . Тогда по аналогии с предыдущим запишем:

где

Определение усилий способом проекций

Усилие (сечение II-II). В этом сечении верхний и нижний стержни параллельны, поэтому для определения усилия удобно спроектировать все левые силы на ось . Здесь и в дальнейшем предполагаем ось направленной вверх.

Определение усилий способом вырезания узлов

Усилие . Вырежем верхний трехстержневой узел (см. рис. 2.1), спроектируем все три усилия на ось :

Здесь найдено ранее способом моментной точки.

Усилие . Вырежем нижний трехстержневой опорный узел . Из суммы проекций на ось всех сил, находящихся в этом узле, имеем:

Зная размеры фермы, величины заданных сил и опорных реак­ций, можно легко найти численные значения искомых усилий.

2.2 Расчет ферм на подвижную нагрузку

2.2.1 Понятие о линиях влияния

Линии влияния усилий (продольных сил) в стержнях фермы являются графиками, характеризующими закон изменения усилий в рассматриваемых стерж­нях в зависимости от положения вертикальной единичной силы . Эта сила устанавливается поочередно в узлах ездового (нижнего ли­бо верхнего) пояса.

Линии влияния усилий могут быть построены статическим и кинематическим способами (см. учебник). Ниже рассмотрен статичес­кий способ, как чаще употребляемый.

При построении линий влияния усилий в стержнях ферм исполь­зуем рассмотренные в предыдущем параграфе способы определения усилий. Если при этом стержни находятся между опорами фермы, то усилия в них выражаются через значения опорных реакций.

В нашем примере (рис. 2.2) перемещается по нижнему ездо­вому (грузовому) поясу. Для построения линий влияния опорных ре­акций место положения зафиксировано координатой . Уравнения для определения опорных реакций и их линии влияния такие же, как и в балках, - линейные (рис. 2.2), т.е. прямая линия соединяет положительную единичную ординату под соответствующей опорой с нулевой (под противоположной опорой) и продлевается в оба конца фермы.

2.2.2 Построение линий влияния усилий в стержнях простых ферм

Построение линии влияния усилия в стержне (сечение I-I).

Из рис. 2.2 видно, что линии действия усилий двух других стержней рассеченной панели пересекаются в моментной точке . Кратчайшее расстояние от до линии действия есть , равное в нашем случае .

Пусть сила находится справа от рассеченной панели (в дальнейшем ). Тогда выражение для правой ветви линии влияния (л.в.) определится из уравнения моментов для левой части фермы:

при получим

, или л.в. л.в. - правая ветвь.

Правую ветвь строим аналогично л.в. . Для этого под левой опорой откладываем вниз положи­тельный отрезок 1·. Затем его вершину соединяем прямой с нулевой точкой под правой опорой. Эта ветвь справедлива (при­годна) от правого узла разрезанной (ездового пояса) панели сечением I-I до кон­ца фермы вправо.

Пусть сила находится слева от сечения I-I (в дальнейшем ). Тогда выражение для левой ветви л.в. усилия получится из уравнения моментов для правой части фермы:

при имеем , или л.в. л.в. - левая ветвь.

Из этой зависимости видно, что левая ветвь л.в. имеет такой же вид, как и л.в. , но ордината увеличена в раз. Левая ветвь пригодна левее сечения I-I, начиная с левого уз­ла. Построенные в одном масштабе правая и левая ветви пересекают­ся под моментной точкой (см. рис. 2.2, точка ). Используя полученное свойство линии влияния, способом моментной точки можем строить по одной из ветвей и моментной точке , снесенной по вертикали на нее (или ее продолжение). Для завершения построения л.в. усилия снесем правый узел разрезанной панели I-I на правую ветвь, левый - на левую и полученные ординаты соединим пе­редаточной (переходной) прямой.

Построение линии влияния усилия в стержне (сечение II-II).

Сечение II-II рассекло два параллельных стержня (верхний и нижний пояса) и наклонный с усилием . Обозначив угол между усилием и вертикалью, расположив силу (справа от разрезанной панели ездового пояса), запишем сумму проекций левых сил:

отсюда

, или л.в. л.в. - правая ветвь.

Мы получили выражение для правой ветви л.в. , которая совпала с отрицательным значением л.в. опорной реакции , умноженной на Для ее построения под левой опорой отложим вверх отрицательный отрезок , вершину которого соединяем с нулевой точкой под правой опорой. Эта ветвь справедлива от правого узла разрезанной панели ездового пояса до конца фермы вправо.

Если сила , то рассматриваем равновесие правой отсеченной части фермы:

Откуда

, или л.в. л.в. - левая ветвь.

Отсюда видно, что левая ветвь л.в. есть л.в. , умноженная на Отложим вниз под правой опорой положительный отрезок , его вершину соединим прямой с нулевой точкой под левой опорой. Полученная левая ветвь действительна от левого узла разрезанной панели ездового пояса до конца фермы влево. Сносим правый и левый узлы на соответствующие ветви л.в., отмечаем ординаты и соединяем их передаточной прямой. При построении л.в. способом проекций замечаем, что отрезки под левой и правой опорами одинаковы, но противоположны по знаку. Следовательно, ветви параллельны. Поэтому в дальнейшем будем строить одну ветвь, например правую, а левую будем вести параллельно ей через нулевую точку под левой опорой.

Построение линии влияния усилия (сечение на опоре ).

Для определения усилия воспользуемся способом вырезания узлов. Вырезав нижний трехстержневой опорный узел (вместе с опорой и реакцией), рассмотрим его равновесие.

При вне вырезанного узла

отсюда

, или л.в. л.в.

Л.в. совпадает с отрицательным значением л.в. . Как уже отмечалось, при построении л.в. под правой опорой откладываем вверх отрицательный единичный отрезок. Через его вершину и нулевую точку под левой опорой проводим линию влево и вправо до конца фермы. Действительной является л.в. на всем протяжении, кроме двух разрезанных панелей.

При в узле (мысленно поставим эту силу направленной вниз в узел ) спроектируем силы на ось :

Если сила находится в узле над опорой (В), то опорная реакция равна этой единичной силе. В результате усилие обратится в ноль. Отмечая ординаты слева и справа от вырезанного узла и нулевую ординату под опорой (В), соединяем их передаточными прямыми.

Линия влияния . При рассмотрим равновесие левой части фермы относительно точки (сечение I-I):

,

тогда

, или л.в. л.в. - правая ветвь.

Поскольку сила находится справа от сечения I-I, мы строим правую ветвь аналогично л.в. , откладывая под левой опорой вверх отрицательный отрезок Эта ветвь действительна вправо от правого узла разрезанной панели нижнего ездового пояса.

При рассматриваем равновесие относительно моментной точки правой части фермы:

,

тогда

, или л.в. л.в. - левая ветвь.

Из последнего выражения получаем, что левая ветвь л.в. совпадает с построением отрицательной л.в. , увеличенной в раз. Полученная левая ветвь справедлива влево от левого узла разрезанной панели. Отмеченные под правым и левым узлами ординаты соединяем передаточной прямой. Здесь следует отметить, что разрезанной могла быть и соседняя панель (сечение II-II), тогда передаточная прямая совпала бы с правой ветвью. Однако вид л.в. , от этого смещения не изменяется. Как видно из рис. 2.2, л.в. , левая и правая ветви пересекаются под моментной точкой в точке .

Линия влияния (сечения III-III). Для ее построения используем способ проекций. Пусть , тогда равновесие левой части представляется суммой проекций на ось :

отсюда

, или л.в. л.в. - правая ветвь.

Следовательно, правая ветвь совпадает с л.в. , умноженной на . Если Fл=1, то рассматриваем равновесие правой части в виде суммы проекций

Левая ветвь совпадает с отрицательной л.в. (RB), умноженной на , т.е. левая ветвь параллельна правой. Отмечая границы левой ветви точкой под опорой , правой – ординатой под правым узлом разрезанной панели нижнего ездового пояса сечением III–III, проводим передаточную прямую.

Линия влияния . Усилие определяется вырезанием трехстержневого узла на консольной части фермы.

При , находящемся в этом узле, получаем:

тогда

.

Полученную положительную ординату откладываем вниз под этим узлом. Если уходит из узла, то получаем:

Следовательно, все остальные ординаты л.в. нулевые. Соединив вершину полученного отрезка с нулевыми ординатами слева и справа, завершаем л.в. .

Перейдем к построению линий влияния усилий в стрежнях фермы, изображенной на рис. 2.3.

Линия влияния . Стержень находится на левой консольной части фермы. Для определения усилия в стержнях проведем сечение I-I, найдем моментную точку на пересечении двух других стержней этой панели. При рассмотрении консольных ферм или консольных частей ферм удобнее рассматривать равновесие отсеченной части фермы дважды: первый раз вместе с на этой части, другой раз – без нее.

Рассмотрим равновесие левой части консоли при относительно моментной точки , поместив начало отсчета в эту точку:

отсюда - линейная функция. Получим две точки при , и , . Откладываем отрицательные отрезки под соответствующими узлами вверх, соединяем их прямой; левая ветвь справедлива слева от сечения. При равновесие левой части дает выражение:

отсюда

Таким образом, вся правая ветвь нулевая. Следовательно, продолжение левой ветви должно пройти через нулевую точку под моментной точкой . Передаточная прямая проходит между ординатами под левым и правым узлами рассеченной панели. Правая ордината нулевая.

Линия влияния (сечение II-II). Из рис. 2.3 видно, что усилие имеет моментную точку там же, где усилие . Следовательно, построение л.в. совпадает с . Ординаты в этих л.в. могут отличаться в том случае, если . Передаточная прямая в л.в. смещена на одну панель вправо и совпадает с нулевой правой ветвью.

Линия влияния . Вырезаем трехстержневой узел вместе с опорой и опорной реакцией . Спроектировав все усилия в этом узле на ось , при вне узла получим:

или

л.в. л.в. л.в. л.в.

Линия влияния состоит из трех л.в. Сначала строим отрицательную л.в. (единичный отрезок отложим вверх), затем к ней

прибавляем две других л.в. с учетом знака минус самой л.в. . Л. в. справедлива везде, кроме двух разрезанных панелей. Поскольку перемещается по верхнему поясу, а вырезан нижний узел, то в узле быть не может. Следовательно, в этом случае остается предыдущая зависимость для построения л.в. . Соединяем передаточными прямыми ординаты под левым и правым узлами двух разрезанных панелей.

Линия влияния (сечение II-II). Моментная точка получена пересечением линий действия двух других усилий в сечении II-II. Тогда, взяв сумму моментов левых сил относительно , имеем выражение для правой ветви л.в. :

отсюда

л.в. л.в. - правая ветвь.

Эта ветвь совпадает с л.в. , но увеличенной в раз. При получим:

т.е. левая ветвь нулевая. Контроль: левая и правая ветви пересеклись под моментной точкой .

Передаточная прямая соединяет правую ординату у разрезанной панели ездового пояса и нулевую ординату – слева.

Линия влияния (сечение III-III). Рассматриваем равновесие отсеченной правой части консоли при . Здесь верхний и нижний пояса параллельны, поэтому спроектируем все правые усилия на ось :

, следовательно, .

Правая ветвь л.в. проводится параллельно базовой (исходной) линии на расстоянии минус единица. Она справедлива от правого узла разрезанной панели до конца фермы вправо. При получаем , т.е. левая ветвь нулевая. Передаточная прямая соединяет слева нулевую ординату с единичной справа.

Краткие выводы

1. Если стержень находится между опорами, а усилие определяется способом моментной точки или проекций, то ферму приходится сечением делить на две части (диска). Поэтому и единичную силу располагают поочередно на правой или левой частях фермы, записывают уравнения статики (либо моментов, либо проекций), получая значения для соответствующих ветвей, выраженных через л.в. опорных реакций. В разрезанной панели ездового пояса соседние ординаты под узлами соединяют передаточными прямыми. Для проверки или построения используют моментные точки или параллельность ветвей.

2. При определении усилия способом вырезания узлов силу 'распо­лагают в узле и вне его.

3. Если стержень находится на консоли, то рассматривают равнове­сие отсеченной консольной части: первый раз с единичной силой, второй - без нее. При использовании моментной точки начало отсчета координаты располагают этой моментной точке.

Ниже приведены выражения для линий влияния усилий (см. рис. 2.3) в стержнях фермы без дополнительных пояснений.

Линия влияния (сечение I-I).

, при

, , .

, .

Линия влияния (сечение IV-IV).

, при

.

Линия влияния (сечение V-V).

, - правая ветвь;

, - левая ветвь.

Ветви параллельны.

Линия влияния (сечение III-III).

, - правая ветвь;

, - левая ветвь.

Линия влияния (сечение VI-VI).

, - правая ветвь;

, - левая ветвь.

- точка пересечения ветвей.

Соседние файлы в папке строймех 2