15.3.5 Определение изгибающих моментов , возникающих в балке жесткости

Рассмотрим произвольное положение единичной силы . Составим уравнение равновесия для той части балки, которая не содержит единичной силы (в данном случае правой части системы, рис.15.7, а):

Учитывая, что и (при положении силы вне рассматриваемого сечения), имеем:

(15.13)

Следует отметить, что во-первых, формула (15.3) полностью аналогична формуле для расчета изгибающих моментов, возникающих в сечениях трехшарнирной арки; во-вторых, аналогичная формула может быть использована и для построения эпюры изгибающих моментов :

Рис. 15.7

Для получения линии влияния построим отдельно линию влияния и вычтем из нее линию влияния (рис. 15.7, б). Результатом этих действий и будет искомая линия влияния . При этом характерные ординаты будут:

(15.14)

(15.15)

В частности, при , расположении узлов цепи на квадратной параболе и достаточно большом количестве подвесок (рис. 15.7, в) имеем:

Подсчитаем отрицательную и положительную площади на линии влияния :

(Абсциссы и получены из подобия треугольников, см. рис. 15.7, в).

Равенство по абсолютным значениям справедливо для любого другого сечения, поэтому становится очевидным, что от равномерно распределенной нагрузки при достаточно частом расположении подвесок моменты не возникают! Следовательно, схемой конструкции висячей системы можно обеспечить почти безмоментное состояние балки жесткости от действия собственного веса.

15.4 Расчет висячих мостов по деформируемой схеме. Общие положения

Остановимся на общих положениях деформационного расчета. При расчете висячих мостов следует помнить, что деформации пролетного строения висячего моста сопровождаются перераспределением усилий в несущих кабелях (цепи) и принцип независимости действия сил становится неприемлемым (т.к. в этом случае последовательность приложения нагрузки будет существенно влиять на окончательный результат):

Рассмотрим деформированную схему висячего моста, загруженного на половине пролета равномерно распределенной нагрузкой (рис. 15.8). Максимальный прогиб и максимальный момент, возникающие в этом случае в сечении , будут:

;

Примечание. Вычисление величин и для данного случая предлагается сделать самостоятельно.

Рис. 15.8

Изгибающий момент в -м сечении балки жесткости в соответствии с риc. 15.9 и формулой 15.13 составляет:

, (15.16)

здесь и на рис. 15.9 обозначено:

– распор, возникающий от постоянной равномерно распределенной по всей длине моста нагрузки, например от собственного веса;

- распор, возникающий от временной (поездной) нагрузки, существенно изменяющей геометрию системы;

- суммарный распор;

- стрелка цепи в -м сечении;

- прогиб в -м сечении балки жесткости от временной нагрузки.

Рис. 15.9

Оценим влияние перемещений, возникающих в висячей системе (в несущем кабеле и балке жесткости), на перераспределение усилий в цепи и балке жесткости. Для этого обозначим через из­менение изгибающего момента в балке жесткости и введем параметр . Предположим, что , тогда, учитывая значения и , имеем:



Таким образом, влияние перемещений на перераспределение уси­лий в висячей системе следует учитывать при .

Обращаем внимание, что учет перемещений несущего кабеля прогибов балки приводит:

а) к меньшим значениям изгибающих моментов в балке жесткости;

б) к меньшим значениям прогибов, чем в случае получения этих величин из расчета по недеформированной схеме, и эти уменьшения тем больше, чем больше параметр .

В заключение отметим, что точный расчет висячих систем базируется на нелинейных дифференциальных уравнениях, связывающих силовые и кинематические параметры в деформированном состоянии. Линеаризацией уравнений (или численными методами) устанавливаются в конечном итоге величины поправочных коэффициентов.

Более подробно деформационный расчет висячих мостов см., например, в кн.: Сильницкий Ю.М. Расчет висячих мостов по деформируемой схеме: Учебное пособие. - Л.: ЛИИЖТ, 1967.