15.3 Статический анализ однопролетного висячего моста

15.3.1. Распределительное действие цепи висячей системы

Рассмотрим висячую систему, имеющую вертикальные подвески, расположенные с постоянным шагом (рис. 15.2).

Горизонтальная составляющая в любом сечении цепи, включая анкерный участок при вертикальных подвесках будет равна (рис. 15. 3):

, (15.1)

Усилия, возникающие в подвесках , составляют (рис. 15.3):

(15.2)

- конечная разность второго порядка.

Рассмотрим частный случай очертания цепи - узлы цепи расположены на квадратной параболе В этом случае

(15.3)

И, следовательно, (15.4)

Таким образом, при расположении узлов цепи по квадратной па­раболе и равном (постоянном) шаге вертикальных подвесок распреде­лительное действие цепи проявляется в равнонапряженности (равнонагруженности) всех подвесок независимо от положения нагрузки на балке жесткости.

Рис. 15.3

15.3.2 Равновесие узла в вершине пилона

Рассмотрим равновесие узла , находящегося в вершине пилона.

Из рис. 15. 4, а следует:

(15.5)

здесь - усилие в цепи;

- усилие в анкерной оттяжке;

и, следовательно, (15.6)

- чем круче анкер, тем больше в нем усилие!

. (15.7)

Составляющие усилия в цепи в сечении слева от узла определим по рис. 15.4, б:

(15.8)

здесь - вертикальная составляющая усилия .

Рис. 15.4

15.3.3 Определение распора

Для анализа , построим линию влияния распора, используя ее кинематическую модель (рис. 15.5, б).

Определим среднюю ординату л.в. , для чего загрузим систему единичной силой в середине пролета (рис. 15.5, а).

Рис. 15.5

Рассмотрим равновесие половины системы (рис. 15.5, а), загруженной единичной силой, находящейся в точке (при этом на половину системы действует и половина единичной силы). Для определения распора составим уравнение моментов относительно центрального шарнира (точки ):

Учитывая, что , а (здесь - реак­ция в опоре шарнирной однопролетной балки, загруженной силой в се­редине пролета - точке ), получим:

(15.9)

т.е. значение распора , когда сила находится в точке . Опираясь на кинематическую модель, доопределим линию влияния распора (рис. 15.5, б). Из анализа полученной линии влияния можно сделать сле­дующий вывод: чем ближе к , тем меньше распор!

15.3.4. Определение вертикальных составляющих и

Рассматривая равновесие всей системы как балки (рис. 15.6, а), получим:

где .

Следовательно, с учетом (см. формулу (15.8)).

(5.10)

Здесь следует иметь в виду, что положение единичной силы определя­ется координатой в отличие от координат и , которые определяют геометрию висячей системы, - здесь, угол между приопорным участком цепи и горизонтом.

Рис. 15.6

Порядок построения линии влияния реакции, возникающей в правой опоре балки жесткости , показан на рис. 15.6: сначала строятся линии влияния балочной реакции и (рис. 15.6, б), затем из одной линии влияния вычитается другая (рис. 15.6, в).

Для частного случая, когда узлы цепи расположены на квадратной параболе при большом количестве подвесок (т.е. когда очертание оси можно рассматривать как гладкую кривую), тангенс угла можно определить через первую производную функции , т.е.

. Тогда, учитывая (15.9), имеем:

. (15.11)

Следовательно, при положении силы в т.

(15.12)

исходя из того, что .

Следует особо обратить внимание на следующий факт. Площади отрицательной и положительной частей полученной линии влияния (рис. 15.6, г) равны между собой по абсолютной величине и противоположны по знаку:

Это значит, что реакции, возникающие в опорах балки жесткости, при загружении последней равномерно распределенной нагрузкой будут равны нулю: