Глава 16. Расчет статически определимых стержневых систем, применяемых в тоннелестроении (рам, арок, колец, кольцевых конструкций).
16.1 Задача 1. Шарнирное кольцо в монтажной стадии
16.1.1 Статический и кинематический анализ шарнирного кольца
Схема кольца представлена на рис. 16.1, а. Проанализируем конструкцию
как шарнирно дисковую систему. Система содержит следующие элементы:
число дисков
;
число шарниров
;
число внутренних
стержней
;
число опорных
стержней
.
Подсчитаем число степеней свободы системы:
Система содержит достаточное количество связей, обеспечивающее геометрическую неизменяемость. Такая система является и статически определимой:
число неизвестных
усилий
;
число уравнений
равновесия
.
Подсчитаем степень статической неопределимости:
Условие
есть необходимое условие
геометрической
неизменяемости, но не
достаточное: если связи расставлены
неудачно, то
часть конструкции может
оказаться геометрически изменяемой.
Проведем
структурный анализ на основе
известных признаков геометрической
неизменяемости.
Группа элементов
(рис. 16.1, б) образует геометрически
неизменяемый шарнирный треугольник.
Присоединяя к этому шарнирному
треугольнику последовательно узлы
,
а затем
,
получаем геометрически неизменяемый
диск. Этот диск присоединяется далее к
земле с помощью трех непересекающихся
стержней.
16.1.2 Расчет на воздействие сосредоточенных сил
Определение опорных реакций
Составляя уравнения равновесия кольца, отделенного от опорных связей (рис. 16.1, а), находим опорные реакции:
Рис. 16.1
Определение усилий в шарнирах
Расчет кольца
начинаем, выделив фрагмент в виде
трехшарнирной арки
(рис. 16.1, в). Вертикальные реакции в
шарнирах
и
равны и определяются:
.
Распор
находим
из условия
:
Далее рассмотрим
трехшарнирную арку
(рис. 16.1, г).
Реакции
,
и
определяем
из решения системы уравнений равновесия:
,
тогда
Определение усилий в стяжках
Выделим фрагмент
в виде шарнирного треугольника
и покажем силы, действующие на этот
треугольник со стороны рассмотренных
арок (рис. 16.1, д).
Вырежем узел
и из его равновесия определим усилия в
стяжках
и
(рис. 16.1, е).
Построение эпюры изгибающих моментов
Для построения
эпюры изгибающих моментов вычислим
значения моментов в ряде расчетных
точек. Принимаем правило знаков для
изгибающих моментов (рис. 16.2, а).
Поскольку усилие в стяжке
равно нулю, эпюра моментов симметрична
относительно вертикальной оси кольца.
Вычислим усилия в трех точках 1,2,3
, пользуясь
показанными на рис. 16.1 схемами:
здесь
Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 16.2, г), откладывая ординаты на растянутом волокне.
Построение эпюр поперечных и продольных сил
Правило знаков
для усилий
и
показаны на рис.16. 2, б,
в.
Вычисляем значения
и
в ряде расчетных точек:
Рис. 16.1,в
Рис. 16.1,г
Рис. 16.1,д
По этим значениям
строим эпюры
и
на левой половине кольца. Эпюра
на правой половине кольца строится
симметрично, эпюра
на правой половине кососимметрична
(рис. 16.2, д,
е).
Рис. 16.2
16.1.3 Расчет кольца на действие собственного веса
Определение опорных реакций
Расчетная схема
кольца под действием собственного веса
показана на рис. 16.3, а.
Вертикальная реакция в опоре
равна весу кольца:
.
Рис. 16.3
Определение усилий в шарнирах
Рассмотрим
трехшарнирную арку
(рис.16.3, б).
Вертикальные реакции равны:
.
Распор определяем из уравнения:
Далее рассмотрим
верхнюю трехшарнирную арку
(рис. 16.3, в).
Реакции определим из решения системы
уравнений равновесия:
подставим в
последнее уравнение
и определим
:
,
тогда
Проверка:
Определение усилий в стяжках
Выделим шарнирный
треугольник (рис. 16.3, г)
и покажем силы, действующие на его
узлы. Вырезаем узел
(рис. 16.3, д):
.
Построение эпюр изгибающих моментов
Подсчитываем изгибающий момент в ряде расчетных точек:
Рис. 16.3, е
Рис. 16.3, ж
Рис. 16. 3, з
Эпюра изгибающих моментов от действия собственного веса показана рис. 16.4, г.
Построение эпюр поперечных и продольных сил
Правила знаков
для усилий
и
показаны на рис. 16.4, б,
в.
Вычисляем значения
и
в
расчетных точках:
Рис. 16.3, е
Рис. 16.3, з
Рис. 16.3, ж
По этим значениям
строим эпюры
и
на левой половине кольца.
Эпюры на правой половине кольца построены из соображений симметрии (рис. 16.4, д, е).
Рис. 16.4