1.6.2 Аналитические методы исследования неизменяемости ферм

Наиболее общим способом исследования является анализ определителя системы уравнений, составленной для всех усилий, в стержнях ферм под действием на нее произвольной нагрузки.

Критерий геометрической неизменяемости

где - определитель, отражающий влияние нагрузки;

- общий определитель коэффициентов при неизвестных усилиях.

Если получит конечное значение, то система геометрически неизменяема. Если , то система мгновенно изменяема.

1.6.3 Способ нулевой нагрузки (частный случай)

Если при действии конечной нагрузки в неизменяемой системе все усилия должны иметь конечные значения, то при нулевой нагрузке, в статически определимой ферме, все усилия должны иметь нулевые значения. В этом случае ферма геометрически неизменяема.

Если же в одном из стержней или в группе стержней усилия оказываются неопределенными или возникает самоуравновешенная система сил, то такая ферма мгновенно изменяемая.

Пример 1 (рис. 1.8, а).

Дана сложная ферма:

Необходимое условие выполнено. Нагрузка отсутствует, следовательно, опорные реакции не возникают.

Рассмотрим последовательно равновесие узлов:

Узел 6 -

Узел 7 - двухстержневой незагруженный узел, следовательно,

Последовательно вырезаем узлы 2,4,1 и 5 и устанавливаем, что усилия во всех стержнях равны нулю. Ферма геометрически неизменяема.

Пример 2 (рис. 1.8, б)

Дана сложная ферма:

При отсутствии нагрузки опорные реакции равны нулю.

Из рассмотрения равновесия узла 6 устанавливаем, что В остальных стержнях усилия уравновешиваются, следовательно, в них возникают неопределенные усилия. Ферма мгновенно изменяема.

1.6.4 Способ замены стержней

Способ замены стержней применяется к анализу сложных ферм. Основан на превращении сложной фермы в простейшую путем замены одного или нескольких стержней.

Критерий геометрической неизменяемости

где - усилие в замененном стержне;

- усилие в заменяющем стержне от нагрузки;

- усилие в заменяющем стержне от

Если , то ферма геометрически неизменяема, если , то мгновенно изменяема.

Пример 1 (рис. 1.9, а и б).

Заменой стержня I - 4 на 2 - 7 превращаем сложную ферму в простую. По направлению замененного стержня прикладываем единичные силы и определяем усилия в стержнях, последовательно вырезая узлы 6, 3 и 7.

Узел 6 -

В узле 3 сходятся под разными углами три стержня, следовательно, усилия в них не равны нулю, т.е

Далее вырезаем узел 7 и, составляя , устанавливаем, что . Следовательно, ферма геометрически неизменяема.

Пример 2 (рис. 1.9, в и г).

Заменой стержня 1-4 на 2-7 превращаем сложную ферму в простейшую. Последовательно вырезаем узлы 6, 3 и 7 и рассматриваем их равновесие.

Узел 6 -

Узел 3 -

Узел 7 -

Следовательно, ферма мгновенно изменяема.

1.6.5 Кинематические способы

Кинематические способы исследования неизменяемости основаны на применении принципа возможных перемещений, известного из теоретической механики.

Наиболее удобным для исследования является способ изображающих точек (построение плана скоростей):

а) изображающая точка располагается на радиусе вращения;

б) линия, соединяющая изображающие точки, параллельна линии соединяющей точки тела, которым соответствуют данные изображающие точки;

в) если точка неподвижна, то соответствующая ей изображающая точка совпадет с ней.

Критерий геометрической неизменяемости.

где - усилие в рассеченном стержне;

- момент любой силы относительно соответствующей изображающей точки;

и - плечи усилия относительно изображающих точек.

Если , то ферма геометрически неизменяема, если , то ферма мгновенно изменяема.

Пример 1 (рис. 1.10, а).

Ферма сложная: Разрезаем стержень 5-6, превращая систему в механизм. Строим план скоростей. Закрепляем шарнирный треугольник 1-2-7, следовательно, изображающие точки 1' , 2' и 7' будут расположены в узлах 1-2-7. Задаемся изображающей точкой 3' и последовательно находим изображающие точки 4', 5' и 6', причем 3' - 4' параллельна 3-4, 4' - 5' параллельна 4-5 и 3' - 6' параллельна 3-6.

Из рис. 1.10, а видно, что , следовательно, ферма геометрически неизменяема.

Пример 2 (рис. 1. 10, б)

Разрезаем стержень 4-5, превращая систему в механизм. Строим план скоростей. Закрепляем шарнирный треугольник 7-3-6, задаемся изображающей точкой 2' и последовательно находим изображающие точки 1' , 4' и 5' . Из рис. 1.10, б видно, что , так как 4' - 5' параллельна 4-5, следовательно, ферма мгновенно изменяема.