3.1.2 Построение линий влияния усилий в сечениях трехшарнирной арки

Для вертикальных составляющих и опорных реакций арки, показанной на рис. 3.5, а, линии влияния (в дальнейшем будем применять сокращение - л.в.) не отличаются от линий влияния реакций балки того же пролета (рис. 3.5, б, в).

В соответствии с формулой (3.2) л.в. распора может быть получена делением ординат л.в. на стрелу.Так как л.в. (момент в среднем сечении балки пролетом ) представляет собой треугольник с вершиной посредине и максимальной ординатой , то л.в. имеет вид, показанный на рис. 3.5, г.

При построении линий влияния усилий можно руководствоваться формулами (3.1) и получать ординаты л.в. для характерных сечений алгебраическим суммированием ординат линий влияния балочных

усилий (рис. 3.5, д, е) и распора , взятых с соответствующими постоянными коэффициентами .

Иногда в целях уменьшения объема вычислений применяют так называемый "способ наложения", согласно которому для графического суммирования ординат, имеющих разные знаки, обе эти ординаты откладываются в одну сторону от оси линий влияния, а при одинаковых знаках ординат они откладываются в разные стороны.

На рис 3,5, ж ординаты и л.в. и л.в. отложены вниз, т.к. в соответствии с первой из формул (3.1) они входят в выражение для суммарного момента с разными знаками. Заштрихованная на рис. 3.5, ж область, заключенная между суммируемыми линиями влияния, определяет искомое очертание л.в. , остается только "выпрямить" ее, отложив ординаты от горизонтальной нулевой линии (рис. 3.5, з).

На основании аналогичных рассуждений могут быть построены л.в. (рис. 3.5, и, к) и л.в. (рис. 3.5, л, м).

3.1.3 Построение линий влияния усилий упрощенными способами.

Нулевые точки. Каждая из л.в. имеет три характерных участка (или, как говорят, три ветви): левее сечения , между сечением и шарниром , правее шарнира .

Предположим, что сила находится в пределах среднего участка ( - ). Из условия равновесия правой части арки следует, что при этом линия действия правой опорной реакции (она является геометрической суммой и ) должна проходить через шарнир . Если, кроме того, при выбранном положении единичной силы момент в сечении равен нулю, то линия действия левой опорной реакции , проходит через сечение .

Тогда из условий равновесия среднего участка линии действия , и должны пересекаться в одной точке. Этим определяется положение нулевой точки для л.в. : момент в сечении равен нулю, когда лучи , и F=1 (рис. 3.6, а) пересекаются в одной точке.

Аналогичным образом, предположив, что линия действия направлена перпендикулярно к плоскости сечения , найдем, что поперечная сила в этом сечении равна нулю, если линия действия силы проходит через точку , полученную на пересечении луча с лучом , проведенным из под углом _к параллельно касательной к оси арки в сечении .

Заметим, что точка оказывается за пределами среднего участка . Действие силы , расположенной над точкой , могло бы передаваться на средний участок через абсолютно жесткую консоль (рис. 3.6, а), где - произвольная точка оси арки в пределах среднего участка (в этой точке предполагается жесткое соединение консоли с аркой).

Наконец, если линия действия реакции перпендикулярна касательной к оси арки в сечении , то обращается в нуль нормальная сила . Отсюда следует, что нулевая точка для л.в. находится на пересечении луча с лучом, перпендикулярным . И в этом случае нужно представлять себе дело так, что на среднем участке имеется еще одна жесткая консоль и , когда сила находится в точке на конце такой консоли.

Для уточнения абсцисс нулевых точек средней ветви линий влияния представленных на рис. 3.6 и 3.8, приведены их аналитические зависимости.

Построение линий влияния усилий способом нулевых точек. Пусть сила , находясь над опорой , передает свое действие на средний участок (ясно, что для этого сила должна быть приложена к левой жесткой консоли).Тогда, как это следует из рис. 3.5, д и рис. 3.5, е,

и, кроме того (см. рис. 3.5, г), распор . Поэтому для построения средних ветвей имеем, кроме нулевых точек, еще по одной точке для каждой линии влияния. Эта точка находится под опорой , а ее ординаты равны соответственно:

По двум точкам (нулевой и левой надопорной) строятся средние ветви. Правые ветви получаем, соединяя правые точки средних ветвей (под шарниром ) с нулями на правой опоре. Аналогично поступаем при построении левой ветви л.в. . Для левых ветвей л.в. и л.в. нужно

учесть, что скачок в величине поперечной силы при переходе силы через сечение равен , а в величине нормальной силы - соответственно , причем левая и средняя ветви параллельны. Эти построения показаны на рис. 3.6, б-г.

Построение линий влияния усилий по двум надопорным отрезкам. Представим теперь, что сила , перемещаясь по правой консоли , заняла позицию над правой опорой В. При этом балочные усилия обращаются в ноль, а распор равен . Соответствующие этому положению силы ординаты линий влияния усилий в сечении будут равны:

Откладывая эти ординаты над правой опорой (рис. 3.6, б-г) и соединяя полученные точки с левыми надопорными ординатами, получим направление средних ветвей. Далее построение выполняется точно так же, как описано в предыдущем пункте.

Этот вариант особенно удобен при построении л.в. , т.к. нулевая точка этой линии влияния нередко оказывается за пределами чертежа, что приводит к потере точности графических построений.

Для сечений, находящихся на правой половине арки (как сечение , рис. 3.6, а), при положении на правой консоли (над опорой ) получается:

,

а при положении силы на левой консоли (над опорой А):

На рис. 3.6, д-ж показано построение линий влияния усилий в сечении с помощью двух напорных отрезков.