Глава 3. Расчет трехшарнирных арок и рам
3.1 Расчет трехшарнирных арок
3.1.1 Построение эпюр усилий в сечениях трехшарнирной арки
Аркой называется распорная система, выполненная в виде криволинейного бруса. Под распорной понимается такая система, в которой при действии вертикальных нагрузок возникают не только вертикальные, но и горизонтальные опорные реакции. Горизонтальная реакция, вызванная вертикальным воздействием, носит название распора. Различают арки бесшарнирные (рис. 3.1, а), одношарнирные (рис. 3.1, б), двухшарнирные (рис 3.1, в) и трехшарнирные (рис. 3.1, г).
Так как плоский замкнутый контур трижды статически неопределим, то только трехшарнирная арка является статически определимой системой.
Рассмотрим
симметричную трехшарнирную арку под
вертикальной
нагрузкой
(рис.
3,2 а).
Вертикальные
составляющие
и
опорных
реакций
арки могут быть найдены,
как для обычной балки,
из
условий
и
(для контроля правильности вычислений
можно также использовать условие
).
Распор
определяется
из условия, что для отдельно
рассматриваемой правой или левой части
арки суммарный момент опорных реакций
и заданных нагрузок относительно шарнира
равен
нулю.
Если
теперь взять сечение арки
с координатами центра тяжести
и рассмотреть
отдельно левую отсеченную часть с
усилиями
направленными
положительно, показанную
на рис. 3.2,
в,
то можно получить следующие формулы
для изгибающего момента
,
поперечной
силы
,
нормальной
силы
в
этом сечении и ординаты рациональной
оси
:
(3.1)
Здесь
- угол, составляемый осью и касательной
к оси арки в сечении
;
и
- изгибающий момент и поперечная сила
в сечении
балки того же пролета, что арка, под
действием той же вертикальной нагрузки
(рис. 3.2, б).
В
качестве примера построим эпюры усилий
в сечениях трехшарнирной арки пролетом
,
показанной на рис. 3.3, а.
Для
соответствующей балки (рис. 3.3, б) найдены
реакции
,
и обычным способом построены «балочные»
эпюры поперечных сил
(рис. 3.3,
в)
и изгибающих моментов
(рис. 3.3, г).
Распор арки Н определен по формуле:
(3.2)
где
- ордината эпюры
в сечении
(середина пролета),
f
- стрела арки.
В этом
примере при
и
получается
Если ось арки очерчена по квадратной параболе, то ее уравнение:
,
а углы наклона касательной определяются равенствами
.
В тех случаях, когда за очертание оси арки принята окружность,
где
(радиус
осевой линии),
(угол наклона
касательной).
Предполагая,
что в данном примере ось арки - парабола,
получим при пролете
и стреле
геометрические параметры сечений,
значения которых приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
24 |
0 |
12 |
1.667 |
59.026 |
0.857 |
0.514 |
|
1 |
2 |
22 |
3.056 |
10 |
1.389 |
54.248 |
0.812 |
0.584 |
|
2(к) |
4 |
20 |
5.556 |
8 |
1.111 |
48.013 |
0.743 |
0.669 |
|
3 |
8 |
16 |
8.889 |
4 |
0.556 |
29.074 |
0.486 |
0.874 |
|
4 |
10 |
14 |
9.722 |
2 |
0.278 |
15.536 |
0.286 |
0.963 |
|
5 |
12 |
12 |
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
6 |
16 |
8 |
8.889 |
-4 |
-0.556 |
-29.074 |
-0.486 |
0.874 |
|
7 |
20 |
4 |
5.556 |
-8 |
-1.111 |
-48.013 |
-0.743 |
0.669 |
|
8 |
24 |
0 |
0 |
-12 |
-1.667 |
-59.026 |
-0.857 |
0.514 |
Таблица 3.2
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кНм |
кНм |
кНм |
м |
кН |
кН |
кН |
кН |
кН |
кН |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
266.4 |
245.1 |
21.3 |
444.2 |
147.0 |
-591.2 |
|
1 |
936.7 |
874.0 |
62.6 |
3.28 |
244.3 |
232.1 |
12.2 |
339.5 |
167.0 |
-506.5 |
|
2'(к) |
1673.3 |
1589.0 |
84.3 |
5.85 |
212.9 |
212.5 |
0.4 |
236.5 |
191.3 |
-427.8 |
|
2'' |
1673.3 |
1589.0 |
84.3 |
5.85 |
146.1 |
212.5 |
-66.4 |
162.2 |
191.3 |
-353.5 |
|
3 |
2546.7 |
2542.2 |
4.4 |
8.90 |
190.8 |
138.9 |
51.8 |
106.1 |
249.9 |
-356.0 |
|
4 |
2843 |
2780.5 |
62.8 |
9.94 |
75.4 |
76.6 |
-1.2 |
20.9 |
275.4 |
-296.4 |
|
5' |
2860 |
2860 |
0 |
10.0 |
-61.7 |
0 |
-61.6 |
0 |
286.0 |
-286.0 |
|
5'' |
2860 |
2860 |
0 |
10.0 |
-211.7 |
0 |
-211.7 |
0 |
286.0 |
-286.0 |
|
6 |
2013.3 |
2542.2 |
-528.9 |
7.04 |
-184.9 |
-138.9 |
-46.0 |
102.9 |
249.9 |
-352.8 |
|
7' |
1166.7 |
1589.0 |
-422.4 |
1.04 |
-141.6 |
-212.5 |
70.9 |
157.3 |
191.3 |
-348.6 |
|
7'' |
1166.7 |
1589.0 |
-422.4 |
4.08 |
-195.1 |
-212.5 |
17.4 |
216.7 |
191.3 |
-408.0 |
|
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-149.9 |
-245.1 |
95.2 |
249.9 |
147.0 |
-396.9 |
Для подсчета ординат эпюр усилий и ординат рациональной оси в сечениях арки составляется табл. 3.2. По данным табл. 3.2 построены эпюры изгибающих моментов в арке и рациональной оси (рис. 3.4, а), поперечных сил (рис. 3.4, б) и нормальных сил (рис. 3.4, в).
Заметим, что сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, записаны в таблице дважды (их номера помечены одним и двумя штрихами), т.к. значения нормальных и поперечных сил различны «чуть - чуть слева» и «чуть - чуть справа» от сечения.
Вычислим
значение изгибающего момента в сечении
«
»,
используя рациональную ось арки:
,
что практически совпадает с вычисленным
аналитически (табл. 3.2),
