Глава 18. Расчет балок и рам на Винклеровом упругом основании с использованием функций Крылова

18.1 Расчет балок на упругом основании

В этой главе пособия приводятся рекомендации по выполнению расчета балок на винклеровом упругом основании при использовании функций, предложенных академиком А.Н.Крыловым.

Винклеровым основанием называется упругая среда, в каждой точке поверхности которой сила сопротивления внешнему воздействию пропорциональна перемещению данной точки по нормали к поверхности. Аналитически это свойство винклерова основания выражается равенством

, (18.1)

где - распределенная (приходящаяся на единицу площади поверхности) реакция основания; - нормальное к поверхности смещение основания; - постоянная, характеризующая жесткость основания в данной точке поверхности (эта постоянная носит несколько архаичное, но до сих пор широко распространенное название "коэффициент постели").

Величина зависит, главным образом, от материала основания. Так, для грунтов, в зависимости от их плотности, принимают обычно для каменной кладки - в среднем для бетонного основания может достигать 15000 МПа/м.

При расчете балок с постоянной шириной подошвы удобно использовать "погонный" коэффициент постели . Важной характеристикой системы "балка - основание" является показатель относительной жесткости , (18.2)

где - изгибная жесткость балки. Для балки с прямоугольным сечением высотой

(18.2')

На рис.18.1 показана балка на упругом основании, находящаяся под действием сосредоточенных сил, сосредоточенных моментов и распределенной нагрузки, нормальной к поверхности основания. При расчете такой балки методом начальных параметров должны приниматься во внимание кинематические начальные параметры и статические начальные параметры . Пос­ледние имеют физический смысл нагибающего момента и попереч­ной силы в начальном сечении балки, а первые два параметра связаны с начальным смещением и углом поворота начально­го сечения зависимостями . Аналогичным образом вводятся функции .

В табл. 18.1 приведены данные для составления уравнений, позволяющих находить в любом сечении балки кинематические параметры и статические: .

18.1.2 Функции Крылова, входящие в расчетные зависимости определяются формулами

;

В табл. 18.5 приводится таблица функций Крылова для значений аргумента от до . При можно пользоваться простыми приближенными формулами ;

При больших значениях аргумента точность вычислений, выполняемых с помощью функций Крылова, заметно падает в связи с появлением в расчетных формулах малых разностей больших величин. Поэтому для достаточно длинных балок можно рекомендовать переход к расчету по методу перемещений. При этом в качестве неизвестных следует принимать нормальные смещения и углы поворота в узловых сечениях.

Расстояния между узлами должны назначаться из условия . Порядок расчета конструкций на винклеровом основании методом перемещений описан в параграфе 18.2.

Таблица 18.1

Статические и кинематические параметры изгиба балки

Определяемые факторы	Влияние начальных параметров				Влияние нагрузок в пролете
					(при )	(при )	(при )