14.4 Построение эпюр и от лишних неизвестных

Построение единичных состояний начинается с последовательного рассмотрения эпюр моментов от каждой лишней неизвестной, представляющей собой изгибающий момент. При этом в вантах возникают только продольные силы , а в балке жесткости - поперечные , продольные силы и изгибающие моменты .

14.4.1 Первое единичное состояние

Рассмотрим более подробно первое единичное состояние, возникающее в основной системе при приложении в шарнире единичного момента . Строим эпюру моментов в балке жесткости (рис. 14.4). Для определения продольных и поперечных сил расчленим систему на составляющие элементы (балочки и ) и узлы (и ), каждый из которых (элемент или узел) должен находиться в равновесии. Последовательность рассмотрения следующая.

1. Балка . Длина балки . На левом конце балки действует момент, равный 1 (растягивающий нижние волокна балки), который должен быть уравновешен парой поперечных сил . Значение силы определим из уравнения равновесия моментов относительно точки (или точки ):

В балке действует также продольная сила, которую можно оп­ределить, рассмотрев равновесие узла .

2. Узел . В узле действуют сила (при этом сила в узле имеет обратное направление по отношению к сечению балки ), продольная сила , действующая в ванте , и продольная сила , действующая в балке . Составим уравнения равновесия:

(Здесь и в дальнейшем осью будем считать горизонтальную ось, осью - вертикальную.)

Таким образом, продольная сила растягивает ванту , а продольная сила сжимает балку . Следует отметить, что в данном случае можно было бы проще определить силы и , построив силовой треугольник (см. рис. 14.4, над узлом ).

3. Балка и узел . Усилия, действующие в балке и узле , определяются аналогично. Естественно, что в силу симметрии системы они должны быть равны аналогичным усилиям, найденным ранее.

4. Узел С. Рассмотрим равновесие узла .

3. Узел . Рассмотрим равновесие узла .

Следует помнить, что усилия в верхней ванте будут одинаковы в левой и правой (от пилона) частях только при равных наклонах и горизонтально подвижной опоре на вершине пилона:

На рис. 14.4 приведен также силовой треугольник, построенный для узла .

Окончательной проверкой правильности построения эпюр и является проверка общего равновесия всей вантовой системы:

Чтобы не затенять рисунок, эпюру можно не строить, а только показать направление действия продольных сил на элемент (растяжение или сжатие).

14.4.2 Второе единичное состояние

Второе единичное состояние вызвано приложением пары моментов в узле (рис. 14.5). Строим эпюру изгибающих моментов на участке . Расчленяем систему и рассматриваем равновесие каждого отдельного участка.

1. Балка . Длина балки равна .

2. Узел (Аналогично узлу из предыдущего случая).

3. Балка . Длина балки равна .

4. Узел В узле прикладываем найденные ранее силы и и составляем уравнения равновесия:

5. Узел . Из равновесия узла находим:

6. Узел . Из равновесия этого узла получим:

7. Узел . Равновесие узла аналогично равновесию узла . Причиной возникновения изгиба в балке является воздействие на нее сжатой ванты (узле нет врезного шарнира и, следовательно, вертикальная составляющая силы будет передаваться как сосредоточенная сила на балку ).

8. Узел . Аналогичен узлу .

9. Балки и . Аналогичны соответственно балкам и .

10. Узел . Продольные силы в балке жесткости в узле уравновешивают друг друга. Из равновесия сил на вертикальную ось получим:

Проверка общего равновесия вантовой системы:

В опоре и в опоре реакций нет.