8.2.2 Расчет рамы с прямоугольной осью.

Рассмотрим прямоугольную плоскопространственную раму, являющуюся частью более сложной конструкции (рис. 8.2, рис. 8.4, а). Будем считать жесткими соединения в узлах и . Расчетная схема рассматриваемой рамы представлена на рис. 8.4, б. Нагрузка приложена перпендикулярно плоскости рамы.

Рис. 8.4

Исходные данные: длины элементов ; жесткость при изгибе и кручении соответственно - .

Требуется: построить эпюры распределения изгибающего и крутящего моментов.

Данная рама, как один пространственный контур, шесть раз статически неопределима. Применим метод сил. Основная симметричная система метода сил с приложенными усилиями (приведена на рис. 8.4, в) и заданной нагрузкой (рис. 8.4, г) образуют эквивалентную систему.

Канонические уравнения относительно принимаются в виде (8.3). Как видно из рис. 8.4, в, г, неизвестные усилия , , действуют в плоскости рамы, а нагрузка - в перпендикулярной плоскости. Поэтому система уравнений (8.3) распадается и в этой задаче на две системы: систему (8.4) и систему (8.5).

Система (8.4), как однородная система, по выше описанному приводит к решению: .

Система (8.5), образованная , не лежащими в плоскости рамы, также распадается на две системы:

(8.10)

(8.11)

В этом случае неизвестная - симметричная, а и - кососимметричные. Поэтому

Эпюры в совмещенном виде представлены на рис. 8.5. Графики , изображены с помощью волнистых линий.

Напомним правила построения эпюр моментов от внешних сил в пространственной системе на примере левой половины основной системы рассматриваемой рамы (см. рис. 8.4, г и эпюру на рис. 8.5).

Как видно из рис. 8.4, г, левая половина имеет три участка. Запишем выражения для моментов на каждом из них, идя от свободного конца.

1 участок.

, при при

2 участок.

при , при

3 участок.

при ,

при , ,

Значения полученных изгибающих моментов отложены со стороны растянутого волокна; в эпюрах отложены положительные значения. При необходимости строить эпюры и используют три уравнения проекций на соответствующие оси.

Для упрощения расчета применим принцип независимости дейст­вия сил, т.е. получим решения от распределенной нагрузки и со­средоточенной силы независимо, а результаты затем сложим:

(8.12)

Если , благодаря симметрии рамы и симметрии нагрузки свободные члены в (8.11) . Образовавшаяся однородная система уравнений приводит к результату: . Единственная неизвестная определяется из уравнения (8.10):

Угловые перемещения , с использованием формулы Мора – Верещагина (в эпюрах , при составляющие и равны нулю (см. рис. 8.5) принимают значения:

Расчетные значения в (8.12) получены суммированием:

, (8.13)

для определения необходимо найти решени­ем уравнений (8.10), (8.11), полагая (рис.8.4, г), тогда в эпюре составляющие равны нулю.

Рис. 8.5

Для дальнейшего упрощения расчета рамы с целью полного разделения уравнений (8.10) и (8.11) на три самостоятельных применим способ упругого центра, т.е. неизвестные приложим к концу жесткой консоли (рис.8.6). Длина консоли с определяется из условия равен­ства нулю перемещений:

Рис. 8.6

Для вычисления коэффициентов и свободных членов применим способ Верещагина. Эпюры , , , , , , , в совмещенном виде представлены на рис. 8.6. Учитывая соотношение и эпюры , , получим

Откуда длина жесткой консоли будет

Используя эпюры , , , (рис. 8.6), получим:

Вычисление неизвестных усилий осуществляется непосредственно решением трех независимых уравнений

Суммарная эпюра изгибающих моментов строится по результатам вычислений характерных ординат:

(8.14)

Построение суммарной эпюры крутящих моментов осуществляется аналогично:

(8.15)

Совмещенная эпюра по (8.14) и (8.15) представлена на рис. 8.7, б.

Складывая результаты и (рис. 8.7, а, б), получим расчетную эпюру .

Рис. 8.7

8.3. Задания для расчетно - проектировочных работ по теме «Расчет статически неопределимых плоскопространственных рам методом сил»

Принять схему: по рис. 8.8, табл. 8.1.

Порядок выполнения

1. Установить степень статической неопределимости заданной системы, выбрать основную систему и лишние неизвестные.

2. Записать полную систему канонических уравнений. Проанализировать основную систему рамы и неизвестные. Сократить число неизвестных, использовать симметрию, направление нагрузок и неизвестных к плоскости рамы.

3. Построить в основной системе рамы эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок и единичных неизвестных.

4. Найти коэффициенты и свободные члены канонических уравнений и сделать их проверку.

5. Решить систему канонических уравнений. Сделать их проверку.

6. Построить эпюру изгибающих моментов для заданной рамы. Выполнить кинематическую проверку.

7. Построить эпюру поперечных сил. Выполнить статическую проверку.

8. Подобрать сечение рамы.

Таблица 8.1 (к рис. 8.8)

Строка						Форма сечения
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	1,8 2,0 1,6 1,4 1,2 0,8 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 0,7 0,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5	4,0 8,0 6,0 5,0 7,0 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,2 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0	10,0 12,0 8,0 6,0 10 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2 6,4 6,6 6,8 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0 8,2 8,4 8,6 8,8	20 30 10 40 20 5,0 5,4 5,8 6,2 6,6 7,0 7,4 7,8 8,2 8,6 8,8 9,0 9,2 9,4 9,6 9,8 10,0 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6	0,8 1,2 0,9 1,2 1,0 0,8 0,7 0,9 1,0 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 0,8 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,0	Круглое Квадратное Круглое Квадратное Круглое Квадратное Круглое Квадратное Круглое Квадратное Круглое Квадратное Круглое Квадратное Круглое Квадратное Круглое Квадратное Круглое Квадратное Круглое Квадратное Круглое Квадратное Круглое Квадратное Круглое Квадратное Круглое Квадратное

13