Глава 8. Расчет статически неопределимых плоскопространственных рам методом сил

8.1 Общие сведения из теории расчета плоскопространственных рамных систем

Стержневые системы называются плоскопространственными в том случае, если стержни расположены в одной плоскости, а действующие на них силы направлены под углом к этой плоскости. Если разложить нагрузки на составляющие, действующие в плоскости рамы и перпендикулярные к ней, то выявляются особенности плоскопространственной системы, ведущие к упрощению расчета:

1. у системы, нагруженной силам, действующими перпендикулярно ее плоскости, внутренние силовые факторы и опорные реакции, действующие в плоскости рамы, равны нулю;

2. у системы, нагруженной силами, действующими в ее плоскости, внутренние силовые факторы и опорные реакции, действующие перпендикулярно плоскости рамы, равны нулю.

Таким образом, расчет плоскопространственной рамы (статически определимой или неопределимой) делится на два независимых расчета: один выполняется на нагрузку, действующую в плоскости рамы, а другой - перпендикулярно плоскости рамы. В случае статической неопределимости лишние неизвестные разделяются на две группы и определяются независимо друг от друга.

В общем случае в сечениях рамы, как в пространственной системе действуют шесть внутренних усилий (рис. 8.1):

- крутящий момент;

, - изгибающие моменты;

- продольная сила;

, - поперечные силы.

Рис. 8.1

Методика расчета плоскопространственных систем основана на тех же общих теоремах, что и расчет плоских рам. Возможны упрощения: за счет учета симметрии систем, группировки неизвестных, учета симметрии нагрузки и т.п.

Общая формула перемещений для любой пространственной, в том числе и плоскопространственной, системы имеет вид:

(8.1)

где - единичные изгибающие и крутящий моменты;

- единичные поперечные и продольная силы;

- изгибающие и крутящий моменты от заданных сил;

- поперечные и продольная силы от сил заданных;

- жесткость стержня при изгибе в плоскости и соответственно;

- жесткость стержня при кручении;

- жесткость стержня при сдвиге (срезе) и растяжении (сжатии);

- площадь поперечного сечения стержня;

- единичные реакции опорных связей (при );

- перемещения по направлению опорных реакций от заданных сил;

- коэффициенты, зависящие от формы поперечного сечения стержня (для прямоугольного сечения , для круглого - ).

Для приближенной оценки жесткости и прочности рамы влиянием продольных и поперечных сил на перемещения, как правило, прене­брегают. Поэтому формула (8.1) допускает упрощение:

8.2 Расчет рамы с жестко защемленными концевыми сечениями

Рассмотрим кольцевую и прямоугольную статически неопределимые рамы. На рис. 8.2 они представлены в составе более сложной конструкции.

Рис. 8.2

8.2.1 Расчет рамы с криволинейной осью.

Примером плоскопространственной рамы может служить полукольцевая рама, являющаяся частью более сложной конструкции (см. рис.8.2). Соединения в узлах и будем считать жесткими. Расчетная схема представлена на рис.8.3. а, б. На каждое сечение рамы наложены три угловые и три линейные связи. Нагрузка приложена перпендикулярно плоскости рамы.

Рис. 8.3

Исходные данные: - радиус полукольца; - жесткость при изгибе; - жесткость при кручении; - симметричная нагрузка.

Требуется: для определения опасного сечения рамы и наибольших напряжений построить эпюры распределения изгибающего и крутящего моментов и .

В каждом защемлении (в пространстве) возникает шесть усилий. В нашем примере неизвестных усилий - 12. Шесть из них могут быть определены из шести уравнений равновесия статики. Для определения остальных шести неизвестных усилий удобно использовать метод сил. В соответствии с методом сил заданная статически неопределимая система (см. рис. 8.3, б) заменяется эквивалентной статически определимой системой с приложенными искомыми усилиями (см. рис.8.3, в). Шесть уравнений совместности деформаций определяют усилия .

(8.3)

Описаные выше особенности плоскопространственной системы позволяют упростить решение задачи.

а) Поскольку нагрузка приложена перпендикулярно плоскости рамы, перемещения , а также Таким образом, система шести канонических уравнений распадается на две системы. Одна система содержит неизвестные , лежащие в плоскости рамы (см. рис. 8.3, в):

(8.4)

Так как определитель, образованный из коэффициентов системы (8.4), отличен от нуля, то решениями этой однородной системы уравнений являются . Это есть доказательство ранее приведенной особенности, что при действии на плоскую раму нагрузок, перпендикулярных плоскости рамы, все усилия, лежащие в плоскости рамы, обращаются в нуль, что значительно облегчает расчеты.

б) Вторая система уравнений содержит усилия , лежащие в той же плоскости, что и нагрузка:

(8.5)

Учитывая симметрию основной системы рамы, симметрию нагрузки и косую симметрию неизвестных и , перемещения . Система (8.5) также распадается на две:

(8.6)

(8.7)

Определить, образованный из коэффициентов системы (8.7), отличен от нуля, и поэтому .

Таким образом, из шести неизвестных (8.3), подлежащих определению, остается одно – изгибающий момент Х₁ в уравнении (8.6).

Для определения перемещений воспользуемся сокращенной формулой (8.2):

(8.8)

(8.9)

Для стального кругового сечения имеет место соотношение

Вычислим составляющие выражений для угловых перемещений (8.8) и (8.9) (см. рис. 8.3, г).

Изгибающий момент:

от заданных сил

от единичного момента

.

Крутящий момент:

от заданных сил

от единичного момента

.

Подставив значения , , , в (8.8) и (8.9), получим:

Из уравнения (8.6)

.

В методе сил изгибающий момент в любом сечении определяется .

Эпюра (симметричная) показана на рис. 8.3, д.

Крутящий момент в любом сечении:

.

Эпюра (кососимметричная) показана на рис. 8.3, е.