Глава 9. Расчет пространственных ферм
9.1 Общие положения. Кинематический анализ. Определение усилий.
Последовательность выполнения задания
-
Изобразить в аксонометрии заданную расчетную схему фермы так, чтобы разные стержни не сливались в один на плоскости рисунка. При этом для заданного варианта конфигурацию, размеры и нагрузки брать по рис. 9.1, 9.2 и табл. 9.1, 9.2.
Задания для расчетно - проектировочных работ
Таблица 9.1
|
Вариант |
Раскосы |
|||||||
|
1 |
2 |
|||||||
|
1 2 3 4 5 |
3-6 2-7 2-7 2-7 3-6 |
6-11 7-10 6-11 6-11 6-11 |
6-1 2-5 2-5 1-6 2-5 |
6-9 5-10 5-10 6-9 5-10 |
1-8 1-8 4-5 4-5 1-8 |
8-9 8-9 8-9 8-9 8-9 |
3-8 3-8 4-7 3-8 4-7 |
8-11 8-11 7-12 8-11 7-12 |
|
6 7 8 9 10 |
2-7 3-6 2-7 2-7 3-6 |
6-11 6-11 6-11 6-11 7-10 |
2-5 2-5 1-6 6-1 2-5 |
6-9 6-9 5-10 6-9 6-9 |
4-5 1-8 1-8 1-8 1-8 |
8-9 5-12 8-9 8-9 8-9 |
4-7 3-8 4-7 4-7 4-7 |
8-11 7-12 7-12 8-11 8-11 |
|
11 12 13 14 15 |
2-7 3-6 2-7 3-6 3-6 |
7-10 7-10 7-10 7-10 6-11 |
1-6 2-5 2-5 2-5 2-5 |
6-9 6-9 6-9 5-10 6-9 |
4-5 1-8 4-5 1-8 1-8 |
5-12 5-12 5-12 5-12 5-12 |
3-8 4-7 4-7 4-7 4-7 |
8-11 8-11 8-11 7-12 7-12 |
|
16 17 18 19 20 |
3-6 2-7 3-6 3-6 2-7 |
6-11 6-11 7-10 7-10 6-11 |
1-6 6-1 2-5 1-6 1-6 |
5-10 6-9 6-9 6-9 6-9 |
4-5 1-8 4-5 4-5 4-5 |
5-12 5-12 8-9 5-12 5-12 |
4-7 4-7 4-7 4-7 3-8 |
7-12 7-12 8-11 8-11 7-12 |
|
21 22 23 24 25 |
2-7 3-6 2-7 2-7 2-7 |
6-11 7-10 6-11 7-10 6-11 |
1-6 1-6 1-6 1-6 1-6 |
5-10 5-10 6-9 5-10 5-10 |
1-8 4-5 4-5 4-5 4-5 |
8-9 8-9 5-12 5-12 5-12 |
3-8 4-7 4-7 4-7 4-7 |
7-12 8-11 8-11 8-11 8-11 |
|
26 27 28 29 30 |
3-6 3-6 2-7 2-7 3-6 |
7-10 7-10 6-11 6-11 6-11 |
1-6 1-6 2-5 2-5 2-5 |
5-10 5-10 6-9 6-9 5-10 |
4-5 4-5 4-5 4-5 4-5 |
5-12 5-12 5-12 5-12 5-12 |
3-8 4-7 4-7 4-7 4-7 |
7-12 8-11 8-11 8-11 7-12 |
Таблица 9.2
Габаритные размеры и нагрузки
|
№ Стро-ки |
Размеры,
|
Внешние силы |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 2 3 |
3 4 4 |
3 3 3,5 |
5 5 6 |
4,5 4,5 5,5 |
4 4 5 |
3,5 4 4,5 |
3,5 3 4,5 |
3 3,5 4 |
|
|
4 5 6 |
4 4 4 |
4 4,5 5 |
6 6 6 |
5,5 5,5 5,5 |
5 5 5 |
5 4,5 4,5 |
4,5 4 4,2 |
4 3,5 3,8 |
|
|
7 8 9 |
5 5 5 |
4 4,5 5 |
7 7 7 |
6 6 6 |
6 6 6,5 |
5 5 5,5 |
5 5 5 |
4 4 4 |
|
|
10 11 12 |
5 5 6 |
5,5 6 5 |
8 8 9 |
7 7 8 |
7 7 8 |
6 6 7 |
6 6,5 7 |
5 5,5 6 |
|
|
13 14 15 |
6 6 6 |
5,5 6 6,5 |
9 9 9 |
8 8 8 |
7 7 8 |
6 6 6,5 |
6 6 6,5 |
5 5 6 |
|
|
16 17 18 |
6 6 6 |
7 7,5 8 |
10 10 10 |
8 9 9 |
8 9 7 |
6 8 6 |
6,5 7 6 |
5,5 6 5 |
|
|
19 20 21 |
7 7 7 |
6 6,5 7 |
11 11 11 |
9 8 10 |
9 10 9 |
7 7 8 |
7 8 6 |
5 6 5 |
|
|
22 23 24 |
7 7 7 |
7,5 8 8,5 |
11 12 12 |
9 10 10 |
9 9 10 |
7 7 8 |
7 6 7 |
5 5 6 |
|
|
25 26 27 |
7 3,5 3,5 |
9 3,5 4 |
12 6 6 |
10 5 6 |
9 5 5 |
8 4 5 |
7 3 4,5 |
6 2,5 4 |
|
|
28 29 30 |
3,5 3,5 3,5 |
4,5 5 5,5 |
7 7 7 |
6 6 6 |
6 5 4,5 |
5 4 3,5 |
5 5 4,5 |
4 4 3,5 |
|
2. Произвести кинематический анализ фермы
З. Произвести расчет статически определимой фермы
а) найти длины всех стержней и их направляющие косинусы, записать в 6, 7, 8 и 9 столбы табл. 9.3;
б) установить "нулевые" стержни и отметить их на схеме фермы в случаях нагружения заданными внешними силами и единичными усилиями по направлению искомых перемещений
в)
определить усилия
,
во
всех стержнях фермы от внешней нагрузки
и единичных значений
соответственно,
записать в 10 и
11 столбцы табл. 9.3;
г) произвести промежуточный контроль результатов расчета фермы, пользуясь уравнениями статического равновесия системы. Запись ведется в табл. 9.4 и 9.5.
4. Определить перемещения по данным столбцов 14, 15 и 16 табл. 9.3
5. Произвести проверку правильности расчетов:
а) определить для заданной системы составляющие опорных реакций по осям координат;
б) проверить равновесие заданной системы по шести уравнениям статики (запись в табл. 9.6).
Таблица 9.3
|
№ п/п |
Обозна- чение стержня |
Проекции длины стержня на оси, м |
Длина сержня
|
Направляющие косинусы |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
1 2 3 4 |
1-2 2-3 3-4 1-4 |
0 8 0 8 |
6 0 6 0 |
0 0 0 0 |
6 8 6 8 |
0 1 0 1 |
1 0 1 0 |
0 0 0 0 |
0 0 0 0 |
0 0 0 0 |
1 1 1 1 |
6 8 6 8 |
0 0 0 0 |
0 0 0 0 |
0 0 0 0 |
|
5 6 7 8 |
1-8 2-5 3-6 4-7 |
8 0 8 0 |
0 6 0 6 |
6 6 6 6 |
10 8,485 10 8,485 |
0,8 0 0,8 0 |
0 0,707 0 0,707 |
0,6 0,707 0,6 0,707 |
-1,25 0 0 0 |
0 0 0 0 |
1 1 1 1 |
10 8,485 10 8,485 |
0 0 0 0 |
0 0 0 0 |
15,625 0 0 0 |
|
9 10 11 12 |
5-6 6-7 7-8 5-8 |
0 8 0 8 |
6 0 6 0 |
0 0 0 0 |
6 8 6 8 |
0 1 0 1 |
1 0 1 0 |
0 0 0 0 |
0 0 -0,094 0,094 |
-0,6 0 -0,6 0 |
1 1 1 1 |
6 8 6 8 |
2,16 0 2,16 0 |
0 0 0,338 0 |
0 0 0,053 0,0707 |
|
13 14 15 16 |
1-5 2-6 3-7 4-8 |
0 0 0 0 |
0 0 0 0 |
6 6 6 6 |
6 6 6 6 |
0 0 0 0 |
0 0 0 0 |
1 1 1 1 |
0,75 0 0 0 |
0 0 0 0 |
2 2 2 2 |
3 3 3 3 |
0 0 0 0 |
0 0 0 0 |
1,688 0 0 0 |
|
17 18 19 20 |
5-10 6-11 7-12 8-9 |
1 9 1 9 |
7 1 7 1 |
8 8 8 8 |
10,68 12,08 10,68 12,08 |
0,094 0,745 0,094 0,745 |
0,656 0,083 0,656 0,083 |
0,744 0,662 0,656 0,662 |
0,125 0 0,125 0,982 |
0,801 -0,967 0,801 -0,967 |
1 1 1 1 |
10,68 12,08 10,68 12,08 |
6,85 11,29 6,85 11,29 |
1,070 0 1,070 -11,467 |
0,167 0 0,167 11,649 |
|
21 22 23 24 |
5-9 6-10 7-11 8-12 |
1 1 1 1 |
1 1 1 1 |
8 8 8 8 |
8,124 8,124 8,124 8,124 |
8,123 8,123 0,123 0,123 |
0,123 0,123 0,123 0,123 |
0,985 0,985 0,985 0,985 |
0,666 0 -0,0953 -1,422 |
-0,609 0,65 -0,609 0,65 |
2 2 2 2 |
4,062 4,062 4,062 4,062 |
1,508 1,716 1,508 1,716 |
-1,649 0 0,237 3,754 |
1,802 0 0,037 8,214 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46,045 |
-14,155 |
39,475 |
Кинематический
анализ пространственной фирмы.
Степень
изменяемости
пространственной фермы определяется
по формуле
,
где
- число узлов фермы (идеальных сферических
шарниров);
- число собственных стержней фермы;
- число опорных связей.
При
система изменяемая.
При
система
может быть геометрически неизменяемой.
Отрицательное значение
показывает
возможное число "лишних" связей.
Достаточность имеющихся связей
определяется путем анализа образования
фермы. Для этого необходимо последовательно
проверить, присоединен ли каждый узел
пространственной фермы к трем неподвижным
точкам тремя стержнями, не лежащими в
одной плоскости.
Кроме того, можно использовать теорему о геометрической неизменяемости и статической определимости сетчатой системы, т.е. стержневой системы, имеющей вид замкнутого выпуклого многогранника с треугольными или неизменяемыми гранями, ограничивающего односвязное пространство. Если заданную ферму можно превратить в сетчатую систему путем перестановки стержней или замены опорных связей и "лишних" стержней нет, то она геометрически неизменяема и статически определима.
Установить, не является ли пространственная ферма мгновенно изменяемой или подвижной, можно проще всего при помощи метода нулевой нагрузки (при нулевой нагрузке усилия в стержнях геометрически неизменяемой фермы равны нулю).
Определение «нулевых» стержней. Используя способ вырезания узлов, можно установить два правила определения "нулевых" стержней.
1. Если в ненагруженном узле сходятся три стержня, не лежащие в одной плоскости, то продольные усилия во всех трех стержнях равны нулю.
2. Если внешняя сила, приложенная к узлу, и все стержни, кроме одного, лежат в одной плоскости, то усилие в "одиночном" стержне равно нулю.
Последовательно, от узла к узлу, применяя эти правила, можно установить все "нулевые" стержни фермы.
Определение усилий. Способ простых сечений. Система разделяется на две части воображаемой поверхностью, проведенной через шесть связей и рассматривается, равновесие одной из них. Все шесть неизвестных могут быть найдены из шести уравнений равновесия. При этом рекомендуется составить уравнения равновесия в виде суммы моментов относительно двух прямых, которые пересекаются четырьмя силами. Это дает возможность определить остальные два неизвестных из двух уравнений.
В некоторых случаях могут быть использованы уравнения в виде суммы проекций сил на ось, которую следует выбирать так, чтобы возможно большее число неизвестных сил исключалось из этого уравнения.
Способ вырезания узлов. От фермы отсекается один узел. Для сил, сходящихся в узле, составляются три независимых уравнения равновесия, причем каждое может быть или суммой проекций сил на ось, или суммой моментов сил относительно оси, пересекающей не менее двух стержней.
Если в узле сходятся только три стержня, то усилия в каждом им них могут быть определены из уравнений равновесия этого узла.
Расчет простых ферм, в которых всегда имеется узел с тремя стержнями, надо начинать с вырезания этого узла. Далее следует переходить к тем узлам, где не более трех неизвестных продольных сил.
Способом вырезания узлов может быть рассчитана любая ферма.