Глава 6. Расчет статически неопределимых рам методом перемещений

6.1 Последовательность расчета

1. Установить степень кинематической неопределимости рамы и выбрать основную систему и неизвестные.

2. Составить канонические уравнения метода перемещений.

3. Построить эпюры изгибающих моментов от единичных перемещений и от заданной нагрузки в основной системе, используя специальные таблицы.

4. Найти коэффициенты и свободные члены канонических уравнений.

5. Выполнить проверку вычислений коэффициентов и свободных членов канонических уравнений.

6. Решить систему канонических уравнений. Проверить правильность решения системы уравнений.

7. Построить эпюру изгибающих моментов. Проверить условия равновесия узлов. Выполнить кинематическую проверку.

8. Построить эпюру поперечных сил по эпюре изгибающих моментов.

9. Построить эпюру продольных сил.

10. Выполнить статическую проверку для рамы в целом.

11. Подобрать сечение элементов рамы.

12. Определить перемещение точки приложения силы .

Размеры рамы, внешняя нагрузка и соотношение изгибных жесткостей стержней приведены на рис. 6.1.

Рис. 6.1

6.2 Степень кинематической неопределимости рамы. Выбор основной системы

Степень кинематической неопределимости рамы определяется по формуле

где - число жестких неопорных узлов;

- число независимых линейных смещений.

В рассматриваемом примере два жестких неопорных узла: 1 и 2. Следовательно, (рис. 6.1).

Число независимых линейных смещений заданной системы равно степени свободы шарнирной схемы, полученной из заданной системы введением шарниров во все узлы, включая опорные (рис. 6.2). Для того чтобы обеспечить геометрическую неизменяемость этой шарнирной системы, достаточно ввести одну горизонтальную линейную связь , тогда:

.

Рис. 6.2 Рис. 6.3

Для сравнения покажем степень статической неопределимости рамы: (см. основную систему метода сил на рис. 6.21).

Очевидна целесообразность расчета рамы методом перемещений.

Основная система (ОС) метода перемещений образуется из заданной рамы путем наложения связей двух типов:

1) связи, препятствующей только повороту жесткого узла, но не препятствующей его линейному перемещению, так называемой

"плавающей заделки";

2) связи, препятствующей линейному перемещению узлов, т.е.

дополнительного опорного стержня.

Общее число вводимых в ОС связей ("плавающих заделок" и независимых дополнительных опорных стержней) равно степени кинематической неопределимости рамы. ОС метода перемещений рис. 6.3 является кинематически определимой и представляет собой систему однопролетных статически неопределимых балок.

На рис. 6.3 показаны предполагаемые положительные направления угловых неизвестных перемещений и линейного - .

6.3 Канонические уравнения метода перемещений

Основная система отличается от заданной рамы наличием до­полнительных связей, препятствующих узловым и линейным переме­щениям узлов, а также появлением реактивных моментов во введен­ных заделках и реактивных сил в добавленных стержнях.

Основная система будет эквивалентна заданной только в том случае, если реакции во введенных связях основной системы от одновременного воздействия внешней нагрузки и перемещений будут равны нулю, т.е

Здесь - реактивные моменты во введенных заделках (узлы 1 и 2); - реактивное усилие во введенном дополнительном стержне. Номер реакции соответствует номеру неизвестных перемещений .

Используя принцип независимости действия сил, запишем канонические уравнения:

Число уравнений всегда равно общему числу введенных заделок и стержней и, следовательно, числу неизвестных перемещений.

Физический смысл уравнений метода перемещений, из которых находятся неизвестные перемещения состоит в отри­цании реактивных усилий в связях основной системы, введенных до­полнительно по сравнению с заданной системой. Канонические ура­внения метода перемещений - статические, это уравнения равнове­сия.

Коэффициентами и свободными членами канонических уравнений метода перемещений являются реакции во введенных связях: - -реакция в дополнительной связи к от смещения связи на вели­чину .

Таким образом, первый индекс коэффициента канонических уравнений показывает место, второй индекс () - причину возникновения реакции .

- реакция в связи , вызванная внешней нагрузкой (грузо­вая реакция).

Реакции (при ) от единичных перемещений (побочные ко­эффициенты системы уравнений) подчиняются теореме о взаимности реакций .

Следовательно, матрица коэффициентов системы уравнений сим­метрична. Коэффициенты (реакции) , расположенные на главной диагонали матрицы системы уравнений, называются главны­ми и всегда.