17.4. Расчет конструкций на упруго-податливых опорах

Упруго-податливой опорой называется такая опора, перемещение которой пропорционально действующему на нее давлению. Упругие характеристики опор, например, их коэффициенты податливости, будем считать известными.

Коэффициентом податливости называется перемещение, вызванное единичным воздействием (- линейное смещение, вызванное единичной силой; - угловое смещение, вызванное единичным моментом). Используем при решении задач метод сил.

17.4.1 Задача 1. Построить эпюру изгибающих моментов в статически неопределимой балке (рис. 17.19) с учетом податливости вертикальной опоры .

Решение. Отличие данной задачи от расчета балки с жесткими опорами состоит в следующем: если в балке с жесткими опорами физический смысл уравнения метода сил состоит в отрицании перемещения по направлению отброшенной связи, то в балке с упруго-податливыми опорами такое перемещение возможно и равно . В этом случае уравнение метода сил будет выглядеть следующим образом:

(17.1)

Основная система показана на рис. 17.20, а. На рис. 17. 20, б, в представлены эпюры грузового и единичного состояния.

Рис. 17.20

Коэффициенты канонического уравнения метода сил определяются по формуле Мора-Верещагина:

Неизвестную реакцию находим из уравнения (17.1):

Окончательная эпюра (рис. 17.21, а) получается суммированием , (см. рис. 17.20, б) и , (рис. 17.20, в), все ординаты которой умножены

На рис. 17.21, б показана изогнутая ось балки.

Рис. 17.21

17.4.2 Задача 2. В статически неопределимой балке, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, все опоры являются упруго-податливыми (рис. 17.22). Построить эпюру изгибающих моментов, если податливости опор известны.

Решение. Основная система показана на рис. 17. 23, б.

Единичная сила, приложенная вместо отброшенной правой опоры (рис. 17. 23, б), вызывает в левой вертикальной опоре реакцию , в моментной связи . В горизонтальной опоре реакция .

– смещение, вызванное единичной силой, приложенной по направлению отброшенной связи. Оно складывается из смещения от изгиба балки, от растяжения левой вертикальной упруго-податливой связи и от поворота в моментной связи. Аналогично находится перемещение, вызванное внешней нагрузкой (рис. 17.24):

Рис.17.23

Запишем уравнение метода сил:

Без учета упругой податливости опор

Окончательные эпюры изгибающих моментов с учетом и без учета упругой податливости показаны на рис. 17.25, а, б соответственно.

Рис. 17.25

При расчете конструкций на упруго-податливых опорах возникает возможность регулировать усилия при заданной нагрузке, изменяя податливость опор.

17.4.3 Задача 3. В раме (рис. 17.26) подобрать податливость опор из условия ее равнопрочности.

Решение. Основная система, единичное и грузовое состояния показаны на рис. 17.27, а, б, в соответственно.

Рис. 17.27

Коэффициенты канонического уравнения метода сил находим, как и в предыдущих примерах, по формуле Мора-Верещагина:

Знак минус при определении говорит о том, что перемещение по направлению отброшенной связи, вызванное внешней нагрузкой, противоположно перемещению от :

Эпюра будет равнопрочна, если во всех стержнях рамы будет равен (рис. 17.28). Это возможно, когда .

Подставим вместо полученное выше выражение, приравняем его к значению и найдем из уравнения податливость а затем :

При этих значениях податливостей рама является равнопрочной.