17.2 Расчет статически неопределимой кольцевой системы

Замкнутый контур представляет собой трижды статически неопределимую систему. При расчете систем, обладающих симметрией, как правило, используют симметричные основные системы, что приводит к разделению неизвестных на симметричные и кососимметричные и появлению нулей в матрице разрешающей системы уравнений. Кроме того, можно утверждать, что при симметричной нагрузке кососимметричные неизвестные имеют нулевые значения и наоборот. Подобный путь решения, подробно рассматриваемый на примерах расчета рам, использован ниже при определении усилий от температурного воздействия в раме с криволинейными элементами. Расчет на усадку бетона производится как на равномерное понижение температуры 15...20°С.

Наличие двух и более осей симметрии системы и нагрузки позволяет расчетную схему замкнутого контура представить в виде один раз статически неопределимой системы, как это проделано в следующей задаче.

Рис. 17.6

17.2.1 Задача 1. Замкнутая система и нагрузка обладают циклической симметрией (рис.17.7, а). Построить эпюры усилий.

Решение. Представленная система имеет 10 осей симметрии, которые одновременно являются также и осями симметрии нагрузки. Следовательно, сечения, лежащие на этих осях, в результате деформации системы не получают поворотов и нормальных к осям симметрии смещений. Вдоль осей симметрии перемещения сечений возможны. На рис. 17.7, б показаны варианты расчетных схем, учитывающие описанные свойства сечений. Концевые сечения всех расчетных схем лежат на двух осях симметрии и закреплены от поворотов и смещений, нормальных к этим осям. Таким образом, во всех вариантах имеются по четыре реактивных усилия (рис. 17. 7, б), связанных тремя уравнениями равновесия, и расчетная схема один раз статически неопределима. Ниже приведено решение, использующее первый вариант расчетной схемы.

Рис. 17.7

Раскрытие статической неопределимости производим методом сил. Основную систему (рис. 17.8, а) получим отбрасыванием одной из связей, препятствующих повороту, т.к. обе связи, закрепляющие систему от линейных смещений, являются безусловно необходимыми. Лишняя неизвестная - момент в сечении - определится из уравнения:

Определим перемещения и по способу Максвелла-Мора, пренебрегая влиянием продольных сил. Для этого составляем выражения изгибающего момента на каждом из участков стержня в грузовом и единичном состояниях как функции локальных координат, рассматривая равновесие отсеченной части стержня в основной системе (рис. 17.8, в).

На первом участке

На втором участке ;

Использованные выше значения реакций получены из уравнений равновесия основной системы:

Замечание. В случае несимметричной расчетной схемы для определения реакций удобно использовать суммы проекций сил на две оси, каждая из которых перпендикулярна одной из искомых реакций.

Соответствующие полученным выражениям эпюры моментов и представлены на рис. 17.8, г.

Рис. 17.8

Вычисляем интегралы Мора:

Здесь слагаемые, связанные с изгибом прямолинейных участков, вычислены с использованием приема Верещагина.

После определения лишней неизвестной

значения моментов в сечениях удобно получить как сумму , а величины продольной и поперечной сил отыскивать, составляя уравнения равновесия для отсеченных участков.

Ниже приведены вычисления значений изгибающего момента в трех сечениях:

Заметим, что в единичном состоянии основная система подвержена чистому изгибу, поэтому продольная и поперечная силы в основной и заданной системах совпадают:

На первом участке

На втором участке

Эпюры усилий для выбранной расчетной схемы и для всего замкнутого профиля представлены на рис. 17.8, д.

17.2.2 Задача 2. Для системы (рис. 17.9, а) построить эпюры усилий от равномерного изменения температуры на .

Решение. Система дважды статически неопределима и обладает осью симметрии. Основную систему выбираем также симметричной, рассекая контур по замковому шарниру и заменяя отброшенные связи лишними неизвестными. По симметрии системы и нагрузки кососимметричная неизвестная . Уравнение метода сил фиксирует отсутствие взаимного горизонтального смещения торцов замкового сечения.

Определим коэффициенты и по формуле Мора с учетом влияния на перемещение изгибающего момента и продольной силы:

Рис. 17.9

Усилия в основной системе от определяются из равновесия консольной отсеченной части:

на первом участке

при

на втором участке

Учитывая, что при равномерном по толщине стержня изменении температуры, то есть , в формуле для остается только второе слагаемое, получим:

Эпюры усилий в заданной системе (рис. 17.9, г) получаются умножением единичных эпюр (рис. 17.9, в) на найденное значение . В случае отрицательного значения приращения температуры (например при усадке бетона) и, следовательно, знаки эпюр изменятся на противоположные.