Глава 17. Расчет статически неопределимых стержневых систем, применяемых в тоннелестроении

17.1 Расчет бесшарнирной арки

Бесшарнирная арка (рис. 17.1, а) - трижды статически неопределимая система. При расчете вручную для раскрытия статической неопределимости используется основная система (рис. 17.1, б) в виде двух консольно защемленных криволинейных стержней с присоединенными к ним жесткими невесомыми консолями, длина которых определяется положением упругого центра. При приложении лишних неизвестных в упругом центре система уравнений метода сил имеет диагональную матрицу, что существенно облегчает вычисления. Лишние неизвестные в этом случае представляют собой систему сил, связанную с усилиями в замковом сечении арки следующими соотношениями:

- продольная сила

- изгибающий момент;

- поперечная сила.

Рис.17.1

Для арки параболического очертания в случае, если момент инерции изменяется от замкового сечения к пятовому обратно пропорционально косинусу угла наклона касательной к оси арки (см. рис. 17.1, а), длина консоли равна одной трети стрелы подъема - ; .

После определения лишних неизвестных усилия в сечениях арки определяются согласно принципу независимости действия сил в виде сумм:

(17.1)

Здесь - усилия в сечениях основной системы от заданной нагрузки;

- усилия в сечениях основной системы от единичных значений лишних неизвестных.

Для определения усилий в основной системе следует рассматривать равновесие консольной части криволинейного стержня, отсекаемого исследуемым сечением (рис. 17.2).

Рис. 17.2

Формулы (17.1) могут быть использованы как для построения эпюр усилий от заданной нагрузки, так и для построения линий влияния усилий в сечениях арки.

В случае неподвижной нагрузки лишние неизвестные принимают соответствующие ей числовые значения, усилия в заданной и в основной системах ,, зависят от положения сечения на оси арки, т.е. графически изображаются эпюрами.

При построении линий влияния лишние неизвестные и усилия , являются функциями положения единичной силы, так называемыми функциями влияния, графическое изображение которых представляет собой линию влияния. Множители при функциях , т.е. , принимают конкретные числовые значения, являясь усилиями в исследуемом сечении основной системы от единичного значения лишней неизвестной .

Ниже приводится решение двух описанных выше задач при условии, что задача раскрытия статической неопределимости решена заранее и имеются данные для построения линий влияния лишних неизвестных.

17.1.1 Задача 1. Для арки (см. рис. 17.1, а) построены линии влияния лишних неизвестных (см. рис. 17.1, б). Построить линии влияния усилий в сечении , для которого известны .

Решение. Строим линии влияния усилий в сечении основной системы (рис. 17. 3). Для этого рассмотрим равновесие консольной части криволинейного стержня, отсекаемой сечением (см. рис. 17.2, б).

Рис. 17.3

Очевидно, что при отсутствии нагрузки на рассматриваемом элементе усилия в сечении равны нулю. Если сила находится в пределах рассматриваемого элемента, усилия в сечении определяются силой и геометрией арки. Таким образом, для усилий в сечении от единичной силы имеем следующие выражения:

(17.2)

Соответствующие линии влияния представлены на рис. 17.3.

Определяем значения усилий в сечении при единичных значениях лишних неизвестных (см. рис. 17. 2):

Линии влияния усилий строим, используя формулы (17.1). Ниже приведены вычисления ординат линий влияния усилий при расположении единичной силы в сечении и в замковом сечении (удобно вычисления выполнять в табличной форме).

Сила в сечении . Левые ординаты:

Правые ординаты:

Сила в замковом сечении. Левые ординаты:

Правые ординаты:

Полученные линии влияния представлены на рис. 17.4.

Рис. 17.4

17.1.2 Задача 2. Пользуясь линиями влияния лишних неизвестных, представленными на рис. 17.1, в, построить эпюры усилий в арке от заданной нагрузки.

Решение. По линиям влияния (см. рис. 17.1, в) определяем значения лишних неизвестных при заданном расположении нагрузки:

Строим эпюры усилий от заданной нагрузки в основной системе. Очевидно, что при заданной схеме загружения левая полуарка и незагруженная консольная часть правой полуарки в основной системе имеют нулевые значения усилий. Из равновесия отсеченной части левой полуарки (см. рис. 17.2, в) получаем выражения для усилий в зависимости от положения сечения при :

Соответствующие эпюры представлены на рис. 17.5, б.

Формально использование формул (17.1) предполагает построение еще девяти эпюр: по три эпюры усилий от единичных значений каждой из трех лишних неизвестных . Это количество сократится до пяти, если учесть, что продольная и поперечная силы в сечениях консольного стержня, загруженного парой сил , равны нулю, а при действии сил и описываются функциями и (см. таблицу на рис. 17.2). Приведем преобразованные с учетом указанной таблицы формулы для усилий:

(17.3)

Графики функций - эпюры , , , , - показаны на рис. 17.5.

Ниже приведены вычисления, произведенные по формулам (17.3), для определения усилий в двух сечениях.

Сечение . Левые ординаты:

Правые ординаты:

.

Рис. 17.5

Сечение (пятое).

Эпюры усилий в сечениях заданной бесшарнирной арки представлены на рис. 17.6.