5.4.9 Построение эпюры продольных сил в заданной раме

Эпюра продольных (нормальных) сил может быть построена способом вырезания узлов по эпюре поперечных сил. Первым вырезают узел, в котором действует не более двух неизвестных усилий.

К вырезанным узлам прикладывают действующие внешние сосредоточенные силы и поперечные силы, взятые со своим знаком из эпюры . Как видно из рис. 5.12, е, положительные поперечные силы вращают элемент вокруг узла по часовой стрелке, а отрицательные - против. Неизвестные продольные силы принимаем положительными при растяжении и направляем их от сечения.

Составим уравнения равновесия для сил, приложенных к двум узлам, показанным на рис. 5.12, е.

Узел 1.

Здесь ,

, т.к. левая и правая опоры шарнирно подвижные (аналогично происходит с подвижной заделкой и свободным концом без продольной силы).

Узел 2.

Проверка: т.к. усилия и действуют в одном и том же стержне, то они должны быть одинаковыми:

погрешность составляет .

Полученные ординаты откладываем перпендикулярно осям соответствующих элементов рамы, ставим знаки. Эпюра изображена на рис. 5.12, в.

5.4.10 Статическая проверка эпюр усилий

Для выполнения статической проверки изобразим раму с заданными нагрузками (см. рис. 5. 12, г). Опорные реакции берем из эпюр и со своими знаками: положительная поворачивает элемент рамы относительно узла по ходу часовой стрелки, отрицательная - против; положительная продольная сила направляется от опоры, отрицательная - к опоре.

Составим суммы проекций всех сил на горизонтальную и вертикальную оси, а также сумму их моментов относительно правой опоры с учетом того, что

1.

2.

3.

(погрешность 0,04%).

Ошибки малы, следовательно, задача решена с достаточной точностью. Наглядное представление об «игре сил» в элементах рамы дает рис. 5.13, где отдельно показаны усилия, приложенные к торцевым сечениям стержней и к узлам. Такое представление позволяет легко убедиться в выполнении условий равновесия отдельных узлов и стержней, а также рамы в целом.

Рис. 5.13

5.4.11 Подбор двутаврового поперечного сечения стержней рамы

Подбор двутаврового поперечного сечения рамы производится из условия прочности на изгиб (предположим, что опорные стержни не теряют устойчивость). Тогда при максимальном изгибающем моменте и допускаемом напряжении , имеем

.

Выберем для всех стержней рамы симметричное сечение из четырех двутавров № 50 по ГОСТ 8239-89. Максимальный момент сопротивления одного двутавра ; рабочее напряжение

.Условие прочности выполнено.

5.5. Пример II

Рассмотрим симметричную раму, схема которой приведена на рис. 5.14.

Определение числа неизвестных:

Рис. 5.14

5.5.1 Выбор основной системы и лишних неизвестных

На рис. 15.5 приведены три варианта основных систем, полученных с учетом симметрии заданной конструкции, показаны соответствующие лишние неизвестные и построены единичные эпюры , и , а также грузовые эпюры для каждого из вариантов.

Для дальнейшего рассмотрения выбран второй вариант, основной системы (трехшарнирная рама) хотя более экономичным является первый вариант (легче строить и перемножать эпюры). Особенностью этой основной системы является то, что для определения реакций недостаточно трех уравнений равновесия рамы в целом. Дополнительное условие равновесия получается из рассмотрения равновесия отдельно левой и правой отсеченных частей рамы с учетом того, что момент в среднем шарнире С известен (равен нулю, если в сечении С не приложены сосредоточенные моменты).

Рассмотрим подробнее построение грузовой эпюры для основной системы по выбранному варианту (рис. 5.16). Рама состоит из восьми участков. Так же, как в предыдущем примере, начало каждого участка отмечено на рис. 5.16 цифрой.

Определим опорные реакции из уравнений статики:

а)

б)

Рис. 5.15

в)

г)

Проверка.

Рис. 5.16

Определение внутренних усилий (значения реакций см. выше).

Участок1.

Участок 2. Так как консоль не загружена, то

Участок 3. .

в середине

Участок 4.

Участок 5.

В середине участка

Участок 6.

Участок 7. (т.к. консоль не загружена).

Участок 8.

По этим результатам построена эпюра (см. рис. 5.15, схема 2.5).