4 Уравнения Рейнольдса.

4.1 Принципы осреднения актуальных (истинных) движений при турбулентном режиме. Пульсационные добавки.

Движение потока при турбулентном режиме всегда является неустановившимся, так как скорости в любой точке потока меняются как во времени, так и по направлению.

Рис. 3.7

При этом возникает очень важный вопрос, какую скорость или давление в точке принять за среднее. Будем в дальнейшем величины, принимаемые за средние, называть осреднёнными.

В некотором сечении потока 1-1, перпендикулярном среднему направлению скоростей потока, которое полагается известным, выделим элементарную площадку dω, включающую точку А (рис.3.7). Проекцию на нормаль к площадке истинной скорости в этой точке обозначим через . Тогда истинный объём жидкости, протекшей через указанную площадку за период времени Т₀ будет

Объём жидкости, протекшей через ту же площадку за тот же период времени Т₀, при неизменной во времени скорости в точке А будет

Приравнивая эти объёмы, получим

Отсюда величину осреднённой местной скорости находим равной

Рис. 3.8

Приведённому интегралу легко дать следующую геометрическую интерпретацию. Если кривая АВ выражает истинное изменение скоростей в точке А, то очевидно будет равен площади, ограниченной этой кривой, прямыми АA’, BB’ и осью абсцисс, но из формулы (4.3) следует, что эта площадь будет равна площади прямоугольника ABB’A’.

Аналогично за осреднённое давление в рассматриваемой точке принимаем величину, равную

Разность между истинной скоростью в точке в данный момент времени и осреднённой местной скоростью в той же точке, будем называть пульсационной добавкой скорости или просто пульсационной добавкой. Будем их обозначать теми же знаками, но со штрихами, например .

Таким образом,

Пульсационные добавки скорости могут быть положительными и отрицательными. Отметим, что величина осреднённой пульсационной добавки всегда равна нулю, т.е.

Но в случае установившегося пульсационного движения

Следовательно,

4.2 Уравнения движения при турбулентном режиме потока.

Система уравнений для актуального движения может быть получена на основании следующих соображений:

1) при переходе от ламинарного режима к турбулентному физические и механические свойства жидкости не меняются;

2) при переходе от ламинарного режима к турбулентному сплошность движения жидкости не нарушается;

3) переход от ламинарного режима к турбулентному не связан с приложением к жидкости новой системы сил.

Следовательно для истинного турбулентного движения действительна та же система уравнений, что и для ламинарного, то есть уравнения вязкой несжимаемой жидкости Навье-Стокса.

Для дальнейших рассуждений эти уравнения удобно записать в другом виде. Так как

В случае несжимаемой жидкости последний многочлен равен нулю. Перепишем систему (4.10) в следующем виде:

Система уравнений для осреднённого движения при турбулентном режиме потока может быть получена путём соответствующего осреднения членов, входящих в систему (4.11).

Произведя операцию осреднения за период времени Т₀ членов первой строки системы (4.11), получим

В случае несжимаемой жидкости

Согласно правилам осреднения

Таким образом, правая часть уравнения (3.12) будет равна

Интегралы левой части уравнений (3.12) найдём следующим образом. Ясно, что

где - пульсационные добавки проекций скоростей.

Что касается интеграла первого члена левой части уравнения (4.11), то он при пульсационно-установившемся движении равен нулю.

Но и

Отсюда

Итак, в результате осреднения первой строки системы (4.11) получим

Аналогично поступаем с остальными членами, входящими во вторую, третью и четвертую строки системы (4.11).

Окончательно получаем следующую систему уравнений для установившегося пульсационного движения несжимаемой жидкости при турбулентном режиме потока:

Сравним эту систему уравнений с системой уравнений, написанной для истинного движения.

В системе появились девять новых членов типа и исключились три члена типа . Члены типа исключились потому, что истинное неустановившееся движение при осреднении мы заменили фиктивным установившимся. А члены типа появились в результате осреднения членов, выражающих конвективное ускорение.

Члены , , … имеют такую же размерность, как и напряжения.

Преобразуем первое уравнение системы (4.26) следующим образом.

Умножим все члены уравнения на плотность, раскроем лапласиан и запишем первую строку системы (4.26) в следующем виде:

Если записать подобным образом все три уравнения, то в них мы получим следующие члены:

которые выражают нормальные напряжения, обусловленные вязкостью жидкости и осреднением истинных скоростей, а члены уравнения

касательные напряжения, обусловленные тоже вязкостью жидкости и осреднением истинных скоростей.

Первые величины в выписанных выражениях, как видим, представляют собой ньютоновы силы вязкости в осреднённом движении; – нормальные добавочные турбулентные напряжения, и, наконец, члены - касательные добавочные турбулентные напряжения.

Система (4.26) это система уравнений Рейнольдса.

В системе четыре уравнения, а неизвестных десять. Три проекции осреднённой скорости (), осреднённое давление и, наконец, шесть неизвестных добавочных турбулентных напряжений. Существует несколько гипотез для определения дополнительных турбулентных напряжений.

Положим, что дополнительное касательное турбулентное напряжение пропорционально угловой скорости сдвига в осреднённом движении, т.е.

где i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3; x₁; x₂; x₃ – координаты частицы; m_i,j – некоторый коэффициент, отличный от коэффициента вязкости η.

при этом касательное напряжение, обусловленное вязкостью и осреднением истинных скоростей, будет

- коэффициент виртуальной вязкости. При этом величина коэффициента зависит от рода жидкости и температуры. Что касается коэффициента , то его частные значения найдены только для прямолинейного осреднённого движения.

Важно ещё отметить, что численные значения в ядре живого сечения потока во много тысяч раз превосходят значения .

Изложенная здесь первая гипотеза замкнутого решения не даёт, так как есть величина переменная, зависящая от элементов скоростного поля, поэтому его лучше всего определять экспериментально.