2. Основы технической гидродинамики.

2.1 Линия тока

Рассмотрим установившееся и неустановившееся движения.

1. Установившееся движение.

При установившемся движении каждая точка пространства характеризуется определённой, не изменяющейся во времени скоростью; частицы М’, М’’, М’’’, … придя в точку 1 в различные моменты времени, будут иметь в этой точке одну и ту же скорость «u» (постоянную по величине и направлению). При установившемся движении u = f₁ (x, y, z).

Линия тока при установившемся движении представляет собой неизменную во времени траекторию, вдоль которой одна за другой движутся частицы жидкости (см.линию М’’’ – М’’ – М’ – 1 – 2).

2. Неустановившееся движение.

При неустановившемся движении скорость u в каждой данной точке пространства, например в точке 1, изменяется с течением времени, т.е. u = f₂ (x, y, z, t). Частица М’, придя в точку 1 пространства, имеет в этой точке в момент времени t’ скорость u’.

Рис.2.1 Схема траекторий частиц жидкости М’, М’’, М’’’ при установившемся движении	Рис.2.2 Схема траекторий частиц жидкости при неустановившемся движении

Рассмотрим некоторый момент времени t₁. Представим себе точку 1, скреплённую с пространством

Рис. 2.3 Пояснение построения линии тока

Отложив по длине вектора u₁, относящегося к этой точке (см. рис. 2.3), небольшой отрезок δδ₁, получим точку 2; далее по длине вектора скорости, относящегося к точке 2, отложим небольшой отрезок δδ₂; при этом получим точку 3 и т.д. В результате такого построения имеем ломаную линию 1-2-3… Подчеркнём, что скорости u₁, u₂, u₃, … относятся к рассматриваемому моменту времени t₁.

Если теперь длина отрезков δδ будет стремиться к нулю, то в пределе вместо ломаной 1-2-3-… получим кривую линию, проходящую через точку 1, причём эта кривая будет характеризоваться тем, что в данный момент времени t₁ во всех её точках векторы скорости будут к ней касательны. Полученная кривая и называется линией тока. Как видно, линия тока в случае неустановившегося движения есть кривая, проведённая внутри потока так, что в данный момент времени векторы скорости во всех точках этой кривой являются касательными к ней. В следующий момент времени t₂ скорость в точке 1 может изменить своё направление. Поэтому в общем случае неустановившегося движения линия тока, отвечающая моменту t₂, будет представлять собой уже совсем другую кривую. Надо помнить, что в общем случае неустановившегося движения система линий тока, проведённых через начальные точки 1, 1’, 1’’,…, выражает только мгновенную картину движения жидкости (отвечающую определённому моменту времени).

Только в том частном случае, когда с течением времени скорости u изменяют лишь свою величину (направление остаётся постоянным), система линий тока при неустановившемся движении оказывается неизменной во времени; при этом линии тока и в случае неустановившегося движения являются траекториями частиц жидкости.

2.2 Параллельноструйное, плавно изменяющееся и резко изменяющееся движения жидкости. Живое сечение, расход, средняя скорость и эпюра скоростей.

1. Параллельноструйное, плавно изменяющееся и резко изменяющееся движения.

В частном случае движения все линии тока могут быть параллельными прямыми. Такое движение жидкости назовём параллельноструйным. Часто, однако, приходится сталкиваться с потоками, отличными от параллельноструйных. Рассматривая такого рода потоки, различаем так называемые плавно изменяющееся движение и резко изменяющееся движение.

Плавно изменяющимся называется движение, близкое к параллельноструйному. В этом случае поток должен удовлетворять следующим двум условиям:

Рис. 2.4

а) радиус кривизны линий тока r должен быть весьма велик (см. рис. 2.4, а).

б) угол Θ, образованный крайними линиями тока, рассматриваемого потока, должен быть близок к нулю (см. рис. 2.4, б).

При несоблюдении хотя бы одного из условий имеет место резко изменяющееся движение.

2. Живое сечение

Изобразим на рис. 2.5 часть потока жидкости и покажем внутри потока целый ряд линий тока. Проведём нормально к этим линиям тока поверхность АВ.

Поверхность АВ, нормальная к линиям тока и лежащая внутри потока, называется живым сечением. Площадь живого сечения обозначается через ω. При параллельноструйном движении живые сечения должны быть близкими к плоским.

Рис. 2.5 Живое сечение

При расчётах плавно изменяющихся потоков всегда действительные несколько искривлённые живые сечения заменяют плоскими расчётными живыми сечениями.

3. Расход жидкости.

Расходом жидкости называется объём её, проходящий в единицу времени через живое сечение. Расход принято обозначать буквой Q. Размерность и т.п.

Если через dω обозначить элементарную часть площади живого сечения, которое в общем случае представляет собой криволинейную поверхность, то элементарный расход, проходящий через площадку dω, выразится так:

Поскольку скорости u в разных точках живого сечения в общем случае различны, то величину Q, исходя из выражения (2.1), можно представить в виде:

4. Средняя скорость.

Было отмечено, что скорости u в разных точках живого сечения, как правило, различны

Имея это в виду, для упрощения расчетов в случаях параллельноструйного и плавно изменяющегося движений вводят понятия средней для данного живого сечения скорости течения. Эту скорость (фиктивную, в действительности не существующую) принято обозначать через .

Скорость v определяется соотношением

как видно, есть гидравлическая характеристика данного живого сечения потока. Расход Q для данного живого сечения выражается формулой.

5. Эпюра скоростей.

Будем рассматривать поток, имеющий плоские живые сечения. Наметим на рис.2.6 вертикаль М-N, принадлежащую одному из живых сечений потока. Покажем векторами скорости течения в разных точках этой вертикали. Соединив концы этих векторов линией АВ получим фигуру АВМN, которая представляет характер распределения скоростей u по вертикали. Эта фигура называется эпюрой скоростей (построенной в данном случае для вертикали МN). Обозначим её площадь через Ω и представим себе далее, что канал имеет прямоугольное поперечное сечение шириной b, причём эпюры скоростей для любых вертикалей, взятых в плоскости рассматриваемого живого сечения, одинаковы. В этом случае величина Ω ^. b даёт расход:

– величина расхода, приходящаяся на единицу ширины канала.

Проведём на рис. 2.6 линию СD таким образом, чтобы площадь полученного прямоугольника CDMN равнялась Ω. Ясно, что ширина этого прямоугольника даёт величину средней скорости .

Рис. 2.6 Эпюра скоростей