4. Циклы в графах.

Во многих прикладных задачах важную роль играют свойства графов,

связанные с существованием в графе замкнутых маршрутов, называемых

циклами. В контрольной работе необходимо изучить основные свойства циклов в графах и проанализировать известную взаимосвязь пространства циклов графа с группами его цепей. Рекомендуется следующий план работы.

1) Изучить такие основополагающие понятия теории графов, как граф, маршрут и цикл (/1/, с. 9-43; /2/, с. 5-22).

2) Рассмотреть понятие цикломатического числа графа и доказать его

основные свойства (/1/, с. 59-61; /2/, с. 43-46).

3) Разобрать определение групп одномерных и нульмерных цепей графа и показать их взаимосвязь с пространством циклов графа (/2/, с. 46-55).

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1 Уилсон р. Введение в теорию графов. – м.: Мир, 1977.

2 Белов В.В., Воробьев Е.М., Шаталов В.Е. Теория графов. – М.: ВШ,

1976.

3 Березина Л.Ю. Графы и их применения: Пособие для учителей. – М.,

1979.

5. Плоские графы.

Понятие планарности играет принципиально важную роль в теории

графов и ее разнообразных приложениях. В контрольной работе необходимо изучить основные свойства планарных графов и доказать критерий Куратовского планарных графов и теорему Эйлера о плоских графах. Рекомендуется следующий план работы:

1) Изучить такие основополагающие понятия теории графов, как граф и его грани, планарный граф и плоский граф, гомеоморфизм и стягивание графа (/1/, с. 9-24, 74-81).

2) Доказать теорему Куратовского, которая дает простой критерий планарности графа (/1/, с. 77-80).

3) Доказать теорему Эйлера о плоских графах (/1/, § 13; /2/, с. 59-75).

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1 Уилсон р. Введение в теорию графов. – м.: Мир, 1977.

2 Белов в.В., Воробьев е.М., Шаталов в.Е. Теория графов. – м.: вш,

1976.

3 Березина л.Ю. Графы и их применения: Пособие для учителей. – м.,

1979.

6. Деревья.

Деревьями называются связные графы без циклов. Такие графы играют

принципиально важную роль как в самой теории графов, так и в ее разнообразных приложениях. В контрольной работе необходимо изучить основные свойства деревьев, рассмотреть задачу перечисления деревьев и

проанализировать взаимосвязь деревьев с пространствами циклов графов.

Рекомендуется следующий план работы:

1) Изучить такие основополагающие понятия теории графов, как граф, маршрут и цикл (/1/, с. 9-43; /2/, с. 5-22).

2) Рассмотреть определение дерева и доказать теорему о его характеристических свойствах (/1/, с. 56-59; /2/, с.45-46).

3) Ввести понятие остовного леса графа и проанализировать его взаимосвязь с фундаментальной системой циклов исходного графа (/1/, с. 59-

61).

4) Разобрать задачу о перечислении деревьев и доказать известную теорему Кэли о числе помеченных деревьев (/1/, с. 62-66).

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1 Уилсон Р. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977.

2 Белов В.В., Воробьев Е.М., Шаталов В.Е. Теория графов. – М.: ВШ,

1976.

3 Березина Л.Ю. Графы и их применения: Пособие для учителей. – М.,

1979.

7. Свойства эйлеровых графов.

Одной из первых задач, приведших к возникновению теории графов, является известная задача Эйлера о кенигсбергских мостах. Решение этой задачи естественно привело к определению важного класса графов, называемых эйлеровыми. Цель контрольной работы - изучить основные свойства эйлеровых графов. Рекомендуется следующий план работы:

1) Изучить такие основополагающие понятия теории графов, как граф, маршрут и цикл (/1/, с. 9-43; /2/, с. 14-18).

2) Рассмотреть задачу Эйлера о кенигсбергских мостах, ввести определение эйлерова графа и доказать критерий эйлеровости графа (/1/, с. 43-45; /2/, с. 5-22).

3) Разобрать алгоритм Флери построения эйлеровой цепи в графе (/1/, с. 45-46).

Литература, рекомендуемая для изучения темы

1) Уилсон Р. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977.

2) Белов В.В., Воробьев Е.М., Шаталов В.Е. Теория графов. – М.: ВШ,

1976.

3) Березина Л.Ю. Графы и их применения: Пособие для учителей. – М.,

1979.