Применение интерполяционного полинома Лагранжа для интегрирования

,

где ,

 погрешность квадратурной формулы.

Общий вид квадратурной формулы следующий:

, где ( ).

Коэффициенты зависят от выбора узлов.

Замечание.

Если пределы интегрирования и являются узлами, то квадратурная формула называется формулой «замкнутого типа», в противном случае  «открытого типа».

Квадратурные формулы Ньютона–Котеса Пусть , .

Если узлы равноотстоящие

;

.

Так как , , то после замены переменной

( ).

Так как , то

, где

(  коэффициенты Котеса).

Квадратурная формула:

( ).

Замечание.

Коэффициенты Котеса обладают свойствами:

1. ;

2. , т.е. равноотстоящие от концов интервала коэффициенты равны.

Рассмотрим частные случаи.

Формула трапеций (при )

;

.

 для частичного интервала (рис. 5.3).

 для интервала (рис. 5.4).

Оценка погрешности квадратурной формулы трапеций

Произведем замену интегрируемой функции интерполяционным полиномом 1-й степени

, где ; ;

;

, где ;

, где .

Полная погрешность

.

Полагая

 среднее арифметическое

и учитывая ,

, где .

Выводы:

1. с ростом интервала интегрирования погрешность возрастает: ;

2. с ростом количества частичных интервалов погрешность уменьшается: ;

3. так как характеризует кривизну функции, то (рис. 5.5, а).

Если ,  формула дает значение интеграла с избытком (рис. 5.5, б).

Если ,  формула дает значение интеграла с недостатком (рис. 5.5, в).

Оценка погрешности во многих случаях затруднительна.

Практический способ оценки погрешности (пересчёт с удвоением шага)

, где const.

, где – приближенное значение интеграла, вычисленное с шагом .

, где – приближенное значение интеграла, вычисленное с шагом .

Предельная погрешность

.

Коррекция результата

.

Определение шага

Если задана предельная допустимая погрешность

;

.

Формула Симпсона (при )

;

;

;

;

.

Г еометрическая интерпретация квадратурной формулы (рис. 5.6)

Рис. 5.6

Общая формула Симпсона

,

где  чётное число.

Оценка погрешности: .

Практическая оценка погрешности

.

Замечание.

При одинаковом количестве узлов формула Симпсона по сравнению с формулой трапеций позволяет получить более точный результат.

Квадратурная формула Чебышева

Общий вид квадратурной формулы

.

Точность формулы зависит от выбора: 1) коэффициентов ;

2) узлов .

Вывод формул Ньютона  Котеса сводится к подбору коэффициентов при заданных узлах . Вывод формулы Чебышева исходит из иных соображений: определяются узлы при равных коэффициентах.

Переход к стандартному интервалу

Если , , то .

После замены переменной

.

Квадратурная формула для стандартного интервала:

.

Условия, предъявляемые к квадратурной формуле Чебышева:

1. коэффициенты должны быть одинаковыми ;

2. узлы должны выбираться так, чтобы квадратурная формула была точной для всех полиномов до максимально возможной степени.

Так как формула содержит параметр: узлов , ,…, и один коэффициент , то максимальная степень полинома равна .

Поиск коэффициента А

Учитывая первое условие

.

Полагая , получим: , , .

Выбор узлов t_i

Согласно второму условию формула должна быть точной для функции вида: , ,…, . Подставляя эти функции в квадратурную формулу, получим систему уравнений:

из которой могут быть определены ( ).

Таким образом, квадратурная формула Чебышева имеет вид:

, где

(  см. табл. 5.1).

Таблица 5.1

2	1 2	- 0,577 350 0,577 350	1
3	1 2 3	- 0,707 107 0 0,707 107	0,666 667
4	1 2 3 4	- 0,794 654 - 0,187 592 0,187 592 0,794 654	0,5
5	1 2 3 4 5	- 0,832 498 - 0,374 541 0 0,374 541 0,832 498	0,4
6	1 2 3 4 5 6	- 0,866 247 - 0,422 519 - 0,266 635 0,266 635 0,422 519 0,866 247	0,333 333
7	1 2 3 4 5 6 7	- 0,883 862 - 0,529 657 - 0,323 912 0 0,323 912 0,529 657 0,883 862	0,285 714