3.9. Симметрические преобразования и симметрические матрицы

Линейное преобразование пространства Rⁿ называется симметрическим, если для каждой пары векторов из пространства Rⁿ справедливо равенство или .

В следующей теореме содержится описание матриц, которые являются матрицами симметрических преобразований.

□ Теорема 3.18. Дано линейное преобразование пространства Rⁿ. Тогда следующие условия равносильны:

1. .

2. , т. е. симметрическое преобразование.

3. Элементы матрицы связаны соотношениями

Доказательство

1 2. Дано, что . Для каждой пары векторов , из пространства Rⁿ имеем

Отсюда следует, что .

2 3. Дано, что для каждой пары векторов из пространства Rⁿ. Теперь имеем

3 1. Дано, что элементы матрицы связаны соотношениями .

Отсюда следует, что , т. е. . Из этого равенства получаем следующую цепочку следствий: . ■

Квадратная матрица порядка называется симметрической, если . Из теоремы 3.18 следует, что симметрические матрицы и только они являются матрицами симметрических преобразований.

□ Теорема 3.19. Если – симметрическая, а – ортогональная матрицы, то – симметрическая матрица.

Доказательство. По условию , а из свойств ортогональных матриц вытекает равенство . Утверждение теоремы следует из следующей цепочки равенств:

,

т. е. и, значит, матрица – симметрическая. ■

Собственные значения симметрической матрицы

□ Лемма. Если матрица

необратима, то либо , либо собственное значение матрицы т. е. матрица имеет собственное значение.

Доказательство. Дано, что матрица

–

необратима. Так как произведение обратимых матриц обратимо, то из необратимости матрицы вытекает, что хотя бы одна из матриц – необратимая матрица.

Если необратима матрица , то . Отсюда следует, что число – собственное значение матрицы . Если же необратима матрица , то, соответственно, и число – собственное значение матрицы А. Итак, одно из чисел , либо является собственным значением матрицы .

□ Теорема 3.20. Каждая симметрическая матрица имеет собственное значение.

Доказательство. Из леммы вытекает, что для доказательства теоремы достаточно установить необратимость матрицы . Для этого, ввиду теоремы 3.13, достаточно показать, что на множестве нормированных векторов пространства Rⁿ.

Рассмотрим скалярный квадрат вектора

Сначала заметим, что из леммы о норме линейного преобразования следует

(16) Далее, матрица – симметрическая. Используя теорему о симметрической матрице, получаем

(17)

Используя соотношения (16), (17) и получаем

.

Так как на множестве нормированных векторов пространства Rⁿ, то величина . Теперь окончательно получаем .

Поскольку – константа, а величину за счет выбора нормированного вектора можно сделать сколь угодно малой, то на множестве нормированных векторов пространства Rⁿ. ■