3.3. Собственные значения квадратной матрицы

Число называется собственным значением (или характерис-тическим числом) квадратной матрицы порядка , если можно подобрать такой n-мерный ненулевой вектор , что

Для того чтобы найти собственные значения матрицы , рассмотрим матрицу

Особый интерес представляет определитель матрицы . Если раскрыть определитель , то получится многочлен n-й степени относительно х

Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы . Его коэффициенты зависят от элементов матрицы . Можно найти выражения для этих коэффициентов через элементы матрицы . Заметим только, что

, .

Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .

□ Теорема 3.9. Множество всех собственных значений матрицы совпадает с множеством всех решений характеристического уравнения матрицы .

Доказательство. Рассмотрим следующую цепочку равносильных утверждений:

уравнения ■

Пример

Найти собственные значения матрицы

= .

Решение

Сначала найдем характеристический многочлен матрицы .

= .

Собственные значения матрицы являются корнями ее характеристического уравнения . Так как

,

то матрица имеет два собственных значения: .

Задачи

1. Найти собственные значения матриц:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е)f) .

2. Доказать, что собственные значения диагональной матрицы равны ее диагональным элементам.

3. Найти собственные значения треугольной матрицы.

4. Доказать, что нуль является собственным значением матрицы тогда и только тогда, когда – вырожденная матрица.

5. Доказать, что собственные значения матрицы обратные собственным значениям матрицы

6. Все собственные значения матрицы равны . Найти все собственные значения матриц: а) ; б)

7. Доказать, что собственные значения матрицы и совпадают, если – обратимая матрица.

8. Дана матрица , квадрат которой совпадает с матрицей , т. е. . Доказать, что собственные значения матрицы равны или .

9. Доказать, что собственные значения матриц и совпадают.

3.4. Собственные векторы квадратной матрицы

Собственным вектором квадратной матрицы порядка , принадлежащим ее собственному значению , называется n-мерный вектор , для которого .

Множество всех собственных векторов матрицы , принадлежащих ее собственному значению , обозначим символом . В следующей теореме отыскание собственных векторов сводится к решению однородной системы линейных уравнений.

□ Теорема 3.10. Множество всех собственных векторов матрицы порядка , принадлежащих ее собственному значению l, совпадает с множеством всех решений однородной системы линейных уравнений , где

Доказательство. Рассмотрим следующую цепочку равносильных утверждений:

■

Следствие. Множество является подпространством пространства

Так как множество решений однородной системы уравнений является подпространством пространства , то утверждение следствия вытекает из теоремы 3.10.

Теперь сформулируем алгоритм отыскания всех собственных векторов матрицы .

1. Найти все собственные значения матрицы , т. е. найти все корни уравнения =0.

2. Для каждого , , найти базис подпространства , т. е. найти фундаментальный набор решений системы уравнений .

Пример

Найти собственные значения матрицы

.

В примере из п. 3.3 были найдены собственные значения матрицы , а именно . Теперь найдем подпространства собственных векторов и . Так как

= –

то система линейных уравнений имеет следующий вид:

Фундаментальный набор решений этой системы уравнений содержит один вектор который является базисом подпространства .

Теперь найдем базис подпространства . Построим систему линейных уравнений

.

Фундаментальный набор решений этой системы уравнений состоит из векторов которые образуют базис подпространства

Задачи

1. Доказать, что матрица порядка имеет единственное собственное значение, если каждый n-мерный вектор является собственным вектором матрицы .

2. Доказать, что все n-мерные векторы тогда и только тогда являются cобственными векторами матрицы , когда матрица имеет вид

3. Доказать, что собственные значения матрицы и совпадают. Найти связь между собственными векторами этих матриц.

4. Найти собственные векторы матриц

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .