3.2. Ядро и образ линейного преобразования

Ядром линейного преобразования называется совокупность всех векторов для которых . Ядро линейного преобразования будем обозначать символом . Итак,

.

□ Теорема 3.5. Ядро линейного преобразования совпадает с множеством решений однородной системы уравнений .

Доказательство теоремы вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений: решение системы уравнений . ■

Следствие. Множество является подпространством.

Так как множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством, то из теоремы 3.5 следует, что множество является подпространством.

Пример

Найти ядро линейного преобразования , где

Решение. Так как ядро совпадает с множеством решений системы уравнений , то базисом подпространства является фундаментальный набор решений этой системы уравнений. Найдем этот базис

_.

Векторы образуют базис системы векторов . Вектор разлагается по векторам : . Отсюда следует, что фундаментальный набор решений системы линейных уравнений состоит из одного вектора , который является базисом . Итак, ядро

Так как является подпространством пространства , то вектор принадлежит . Линейное преобразование называется невырожденным, если содержит только нулевой вектор, т. е. .

□ Теорема 3.6. Дано линейное преобразование . Тогда равносильны следующие утверждения:

1. Линейное преобразование является невырожденным.

2. Линейное преобразование f переводит базис пространства в базис этого пространства, т.е. если базис , то и базис пространства .

3. Линейное преобразование обратимо.

Доказательство

1) 2). Дано, что ядро . Докажем, что если базис , то также базис пространства . Сначала докажем линейную независимость системы векторов . Для этого рассмотрим произвольное разложение вектора по этой системе векторов

(1)

Равенство (1) перепишем в виде

(2)

Теперь из равенства (2) вытекает, что вектор . Отсюда, в виду вытекает

= . (3) Так как линейно независимая система векторов, то из соотношения (3) следуют равенства . Этим доказана линейная независимость системы векторов . Она содержит n векторов и, значит, является базисом пространства

2) 3). Диагональная система является базисом пространства Из условия 2) теоремы получаем, что базис пространства . Так как матрица линейного преобразования то . Следовательно, − линейно независимая система векторов и, значит, матрица обратима, т. е. − обратимое преобразование.

3) 1). Дано, что линейное преобразование обратимо. Докажем, что ядро . Пусть вектор , т. е. Отсюда . Следовательно, . ■

Множество всех векторов , , называется образом линейного преобразования и обозначается символом . Итак,

.

Теперь докажем следующую теорему.

□ Теорема 3.7. Множество является подпространством пространства .

Доказательство. Пусть , − произвольные векторы подпрост-ранства . Тогда найдутся такие векторы , в пространстве что . Теперь имеем

Из этих равенств вытекает, что векторы + и принадлежат множеству . Следовательно, является подпространством. ■

В следующей теореме содержится задание подпространства в виде линейной оболочки.

□ Теорема 3.8. Если система векторов , ,…, базис пространства то = .

Доказательство теоремы вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:

■

Пример

Найти образ линейного преобразования

Решение. Диагональная система , , является базисом пространства . Так как

то из теоремы 3.8 следует, что

Задачи

1. Доказать, что существует единственное линейное преобразование пространства , переводящее его базис соответственно в векторы . Найти матрицу этого линейного преобразования.

2. Найти ядро линейного преобразования, которое переводит базис пространства соответственно в векторы

3. Доказать, что линейное преобразование обратимо тогда и только тогда, когда из неравенства следует, что

4. Доказать равносильность следующих утверждений:

а) ;

б) .

5. Доказать, что для каждого линейного преобразования справедливо равенство

6. Доказать, что для каждого линейного преобразования пространства сумма размерностей ядра и образа равна n, т. е. .