2. Общее уравнение аффинного множества в пространстве

□Теорема 2.16. Дано аффинное множество размерности . Тогда справедливо следующее утверждение. Система уравнений

(5)

является уравнением аффинного множества тогда и только тогда, когда множество проходит через точку перпендикулярно линейно независимым векторам .

Необходимость. Дано, что система уравнений (5) уравнение аффинного множества , т.е. множество является множеством решений системы (5).

Так как после подстановки точки в систему (5) вместо вектора получим верные числовые равенства, то точка решение системы уравнений (5) и, значит, .

Докажем, что векторы линейно независимые и перпендикулярны аффинному множеству . Направляющее подпространство задается системой уравнений (теорема 2.10)

Теперь из теоремы 1.24 вытекает, что подпространство . По условию, . Следовательно, (теорема 1.23). Отсюда векторы образуют базис подпространства (теорема 1.8) и, значит, линейно независимы и перпендикулярны аффинному множеству .

Достаточность. Дано, аффинное множество проходит через точку перпендикулярно линейно независимым векторам . Надо доказать, что множество решений системы уравнений (5). Обозначим множество решений системы уравнений (5) и докажем, что . Для этого установим, что общая точка множеств и , и направляющие подпространства этих аффинных множеств совпадают.

Точка является решением системы уравнений (5) и, значит, . Векторы перпендикулярны множеству , а поэтому принадлежат подпространству . Так как

и векторы линейно независимы, то система векторов образует базис подпространства (теорема 1.8) и, значит, . Теперь из теорем 1.22 и 1.23 следует

Далее, из теоремы 2.10 вытекает

Итак, направляющие подпространства аффинных множеств и совпадают. Из теоремы 2.14 вытекает совпадение множеств и .■

Система уравнений (5), где линейно независимые векторы, называется общим уравнением аффинного множества размерности .

◊Замечание. В общем уравнении аффинного множества размерности линейно независимые векторы образуют базис подпространства .

Действительно, так как , то из теоремы 1.8 следует, что базис подпространства .♦

Приведем алгоритм построения общего решения аффинного множества .

1.Задать аффинное множество .

2.Найти точку и базис подпространства .

3.Написать общее уравнение аффинного множества :

Пример

Аффинное множество задано параметрическим уравнением:

Напишите общее уравнение множества .

Решение. Чтобы написать общее уравнение множества достаточно знать координаты точки, принадлежащей , и базис подпространства . Запишем параметрическое уравнение в векторной форме

,

где точка принадлежит и векторы , базис направляющего подпространства . Следовательно, подпространство задается системой уравнений

Векторы

, ,

образуют фундаментальный набор решений однородной системы уравнений, т.е. образуют базис подпространства . Теперь система уравнений

(6)

является общим уравнением множества . Так как

, ,

то система уравнений (6) в координатной форме имеет вид

●

Задачи

1. Если уравнение аффинного множество , то общим уравнением этого множества является общее решение системы линейных уравнений полученное методом Гаусса.

2. Напишите общее уравнение аффинного множества , которое содержит точку (1,2,−1,−2.1) и направляющее подпространство которого совпадает с множеством решений системы уравнений

3.Дано аффинное множество , где

(2,1,2,1), =(1,1,−1,1) , =(2,1,−1,3), =(0,−1,1,1).

Напишите общее уравнение множества .

4. Аффинное множество задано системой уравнений

.

Напишите общее уравнение аффинного множества , которое содержит множество , имеет размерность четыре и

а) содержит точку (2,-5,3,1,4);

б) вектор параллелен множеству .