2. Параметрическое уравнение аффинного множества

□ Теорема 2.15. Дано аффинное множество размерности . Тогда справедливо следующее утверждение. Уравнение

(3)

является уравнением аффинного множества тогда и только тогда, когда множество проходит через точку параллельно линейно независимым векторам .

Необходимость. Если (3) – уравнение аффинного множества , то . Отсюда следует, множество проходит через точку параллельно векторам (следствие из теоремы 2.12).

Так как (теорема 2.13), то система векторов линейно независима.

Достаточность. Докажем совпадение аффинного множества и множества решений уравнения (3), т.е. совпадения множеств и . Эти множества имеют общую точку . Докажем совпадение направляющих подпространств этих аффинных множеств.

По условию теоремы линейно независимые векторы принадлежат подпространству и . Теперь из теоремы 1.8 вытекает, что векторы базис подпространства и, значит, . Далее, из теоремы 2.12 получаем, что . Итак, и из теоремы 2.9 следует совпадание множеств и .■

Уравнение

где линейно независимая система векторов, называется параметрическим уравнением аффинного множества размерности . Числа называются параметрами.

◊ Замечание. В параметрическом уравнении аффинного множества размерности линейно независимые векторы образуют базис подпространства .

Действительно, так как , то из теоремы 1.8 следует, что система векторов базис подпространства .♦

Запишем параметрическое уравнение в координатной форме. Для этого введем координаты точек и векторов:

Приведем алгоритм построения параметрического уравнения аффинного множества .

1.Задайте аффинное множество.

2.Найдите точку , принадлежащую аффинному множеству , и базис направляющего подпространства .

3.Напишите параметрическое уравнение аффинного множества :

○ Примеры

1. Является ли уравнение

параметрическим уравнением аффинного множества

где , , ?

Решение. Из теоремы 2.15 следует, что данное уравнение будет параметрическим уравнением аффинного множества , если , оно проходит через точку параллельно линейно независимым векторам .

Координаты точки являются решением системы уравнений, т.е. . Координаты векторов решения системы уравнений

и, значит, векторы принадлежат подпространству , т.е. множество параллельно векторам . Так как и векторы линейно независимые, то параметрическое уравнение множества .

2. Дано аффинное множество , где

, , .

Напишите параметрическое уравнение аффинного множества , которое содержит множество , имеет размерность три и

а) содержит точку ,

б) вектор параллелен аффинному множеству .

Решение.

а) Заметим, что линейно независимые векторы. Теперь выясним, принадлежит ли точка аффинному множеству . Точка будет принадлежать множеству , если векторное уравнение

имеет решение или, на другом языке, вектор разлагается по векторам .Проверка показывает, что вектор не разлагается по векторам . Отсюда следует, что точка и что , линейно независимая система векторов.

Полагаем . Множество является аффинным, содержит точку , , множество , имеет размерность, равную трем (теорема 2.13), и уравнение

является параметрическим уравнением множества .

б) Вектор не разлагается по линейно независимой системе векторов , а поэтому линейно независимые векторы. Пусть , т.е. множество решений уравнения

. (4)

Аффинное множество содержит множество , имеет размерность, равную трем (теорема 2.13), вектор параллелен множеству (теорема 2.12). Уравнение (4) параметрическое уравнение множества .●

Задачи

1. Доказать, что уравнение будет параметрическим уравнением аффинного множества тогда и только тогда, когда точка и базис подпространства .

2..Дано аффинное множество , которое содержит точку (2,3,1,1) и направляющее подпространство которого задается системой уравнений:

Найти параметрическое уравнение аффинного множества .

3. Аффинное множество совпадает с множеством решений системы линейных уравнений

Написать параметрическое уравнение аффинного множества .

4. Написать параметрическое уравнение аффинного множества, которое содержит точки и имеет размерность, равную двум.

5. Аффинное множество задано системой уравнений

Напишите параметрическое уравнения аффинного множества , которое содержит множество , имеет размерность три и

а) содержит точку М(1,2,−3,4,0);

б) вектор = (1,−2,5,−1,3) параллелен множеству .

6. Доказать, что если уравнение аффинного множества , то общее решение системы уравнений в векторной форме параметрическое уравнение множества .