2.3. Задание аффинных множеств

1. Задание аффинного множества системой линейных уравнений

Точка пространства называется решением системы уравнений , если .

□Теорема 2.4. Все решения совместной системы уравнений образуют в пространстве аффинное множество.

Доказательство. Обозначим через множество решений данной системы уравнений и пусть и – произвольные точки из этого множества, т.е.

.

Рассмотрим точку для которой

,

и покажем, что . Имеем:

.

Итак, и, значит, . Теперь из определения аффинного множества следует, что – аффинное множество. ■

2. Задание аффинного множества системой точек

Аффинной оболочкой точек называется множество всех таких точек пространства для которых вектор принадлежит подпространству Аффинную оболочку точек будем обозначать символом и тогда

◊Замечание. Точки принадлежат аффинной оболочке

Так как и вектор , то точка принадлежит аффинной оболочке . Из разложения

вытекает, что и, значит, точка ♦

□Теорема 2.5. Аффинная оболочка точек является аффинным множеством.

Доказательство. Пусть и – произвольные точки из множества . Докажем, что множеству принадлежат все такие точки пространства , для которых Имеем

(2)

Так как точки и принадлежат , то из определения аффинной оболочки следует

Теперь из равенства (2) и теоремы 1.2 следует

■

3. Задание аффинного множества

точкой и системой векторов

Пусть точка и векторы пространства . Обозначим через множество точек пространства , которые являются решениями уравнения

где произвольные числа.

◊ Замечание. Точка является решением этого уравнения, если можно подобрать такие числа что выполняется векторное равенство .

Так как равенство

справедливо, то точка принадлежит множеству .♦

□Теорема 2.6. Множество точек пространства является аффинным множеством.

Доказательство. Рассмотрим две произвольные точки и из множества . Из определения этого множества следует, что

Покажем, что каждая точка пространства , для которой , принадлежит множеству . Это утверждение вытекает из следующей цепочки импликаций:

.

Теперь из определения аффинного множества вытекает, что – аффинное множество. ■

Задачи

1.Выяснить, принадлежат ли точки аффинной оболочке точек ?

2.Доказать, что аффинная оболочка содержит бесконечно много точек..

3.Доказать, что в пространстве аффинная оболочка двух различных точек и совпадает с прямой, проходящей через эти точки.

4.Доказать, что в пространстве аффинная оболочка трёх точек , не лежащих на одной прямой, совпадает с плоскостью, проходящей через эти точки.

5.Точки являются частью системы точек . Доказать, что .

6.Точки , и принадлежат пространству . Доказать, что тогда и только тогда, когда .

7.Доказать, что тогда и только тогда, когда .

8.Доказать, что если точки принадлежат аффинной оболочке , то .

9. Доказать, что аффинная оболочка тогда и только тогда, когда , .

10.Выяснить, содержатся ли аффинные оболочки и в аффинной оболочке , где

11.Даны точки из пространства . Доказать, что .

12.Доказать, что .

13. Доказать, что , где точка .

14.Дано: , , . Принадлежат ли точки и множеству

15.Какую фигуру в пространствах или образуют точки аффинного множества

16. Какую фигуру в пространстве образуют точки аффинного множества ненулевые векторы