2. Общее уравнение прямой в пространствах и
и плоскости в пространстве
1.□ Уравнение
(17)
является уравнением прямой (плоскости) в пространстве (в пространстве ) тогда и только тогда, когда прямая (плоскость) проходит через точку перпендикулярно ненулевому вектору .
Доказательство следует из теоремы 2.21.■
2. □ Уравнение
,
,
является
уравнением
прямой,
перпендикулярной ненулевому вектору
.
Доказательство. Вытекает из второго утверждения теоремы 2.20.■
3.
□ Уравнение
прямой, проходящей через точку
перпендикулярно ненулевому вектору
имеет
вид:
.
Доказательство следует из достаточности утверждения 1, в котором равенство (17) записано в координатах.■
4. □ Уравнение
,
,
является
уравнением
плоскости
,
перпендикулярной ненулевому вектору
.
Доказательство. Вытекает из второго утверждения теоремы 2.20.■
5.□
Уравнение
плоскости
,
проходящей через точку
перпендикулярно ненулевому вектору
,
имеет
вид:
Доказательство следует из достаточности утверждения 1, в котором равенство (17) записано в координатах.■
6. Система уравнений
(18)
является
общим уравнением прямой в пространстве
,
проходящей через точку
перпендикулярно линейно независимым
векторам
.
Доказательство. Следует из теоремы 2.17.■
7.
Прямая
,
заданная уравнением (18)
является
пересечением непараллельных плоскостей
и
,
которые заданы соответственно уравнениями
,
.
Доказательство.
Из линейной независимости векторов
и
следует, что плоскости
и
не параллельны. Из следующей цепочки
равносильных утверждений
вытекает, что прямая (18) является пересечением плоскостей и .■
○ Примеры
1.
Написать общее уравнение прямой l,
проходящей через точку
параллельно прямой
:
Решение.
Вектор
перпендикулярен
прямой l.
Так
как прямые
и l
параллельны, то вектор
перпендикулярен
прямой
.
Итак, уравнение прямой
имеет вид
или
2.
Даны уравнения двух сторон
и
треугольника
и
.
Написать уравнение стороны
треугольника, если его высоты пересекаются
в точке
(5;2).
Решение.
Точка
− пересечение сторон треугольника
и
,
а поэтому координаты точки
решение
системы уравнений
(4;−4).
Так
как
− точка пресечения высот треугольника,
то вектор
=
(1;6) перпендикулярен стороне
.
Чтобы написать уравнение этой стороны,
достаточно найти координаты точки,
принадлежащей
стороне
.
Сначала
найдем уравнение высоты
Вектор
перпендикулярен стороне
и, значит, параллелен высоте
.
Точка
лежит на высоте
.
Теперь можно написать параметрическое
уравнение высоты
Точка − пересечение стороны и высоты
Итак,
сторона
проходит через точку
(1;8)
перпендикулярно вектору
=
.
Следовательно, общее уравнение стороны
имеет вид
3.Написать
параметрическое уравнение плоскости,
если ее общее уравнение имеет вид
.
Решение.
Чтобы
написать параметрическое уравнение
плоскости, надо найти точку, принадлежащую
плоскости, и базис
,
ее направляющего подпространства, т.е.
найти фундаментальный набор решений
уравнения
.
Таблица, составленная из коэффициентов уравнения , имеет вид
-
А
1
2
4
3
Из
этой таблицы следует, что вектор
− базис системы векторов
,
,
,
и
=
,
,
3
.
Отсюда фундаментальный набор состоит
из двух векторов:
и
,
а точка
(3;0
− решение уравнения. Параметрическое
уравнение плоскости в векторной форме
имеет вид
,
а в координатной форме
4.Найти
общее уравнение плоскости
,
которая проходит через точки
и
перпендикулярно
плоскости
Решение.
Вектор
перпендикулярен плоскости
и, значит, параллелен плоскости
.
Точки
и
лежат в плоскости
и, значит, вектор
параллелен плоскости
.
Параметрическое уравнение плоскости
имеет вид
.
Чтобы
построить общее уравнение плоскости,
найдем ее нормальный вектор
,
который перпендикулярен направляющему
подпространству
и,
значит, является решением системы
уравнений
Фундаментальный
набор решений этой системы уравнений
состоит из одного вектора
.
Так как плоскость
проходит через точку
,
то ее общее уравнение в векторной форме
имеет вид
и в координатной форме
.
5. Найти параметрическое уравнение прямой , если известно ее общее уравнение
Решение.
Методом Гаусса найдем решение
системы
уравнений и базис направляющего
подпространства
,
т.е. фундаментальный набор однородной
системы уравнений
состоящий
из одного вектора
.
Параметрическое уравнение прямой в
векторной форме имеет вид
=
+
или в координатной форме
6.
Найти проекцию точки
на плоскость
Решение.
Напишем уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно плоскости. Нормальный
вектор
плоскости
является направляющим вектором прямой.
Следовательно, параметрическое уравнение
этой прямой имеет вид
Проекция
точки
на плоскость совпадает с пересечением
прямой и плоскости
.
Найти общее уравнение плоскости, если известно ее параметрическое уравнение
Решение.
Уравнение
плоскости в векторной форме имеет вид:
,
где
,
,
.
Чтобы построить общее уравнение плоскости найдем ее нормальный вектор , который образует фундаментальный набор решений системы уравнений
ФНР
этой системы уравнений
.
Общее уравнение плоскости в векторной
форме имеет вид
и в координатной форме
.●
Задачи
1.
Найти общее уравнение прямой, проходящей
на одинаковых расстояниях от точек
и
.
2.
Даны вершины треугольника
,
и
.
Написать общие уравнения его высот.
3.
В прямоугольнике даны уравнения стороны
и диагонали
.
Написать общие уравнения других сторон
прямоугольника, если точка
одна из его вершин.
4.
Написать общие уравнения высот
треугольника, зная уравнения его сторон:
,
и
5.
Найти точку, симметричную точке
относительно прямой
6.
Составить общее уравнение плоскости,
проходящей на одинаковых расстояниях
от точек
и
.
7.
Написать общее уравнение плоскости,
проходящей через точку
параллельно плоскости
8.
Найти общее уравнение плоскости,
проходящей через точки
,
и перпендикулярно плоскости
9. Составить параметрическое уравнение прямой
10.
Написать общее уравнение прямой,
проходящей через точку
параллельно прямой
11.
Найти общее уравнение прямой, принадлежащей
плоскости
и проходящей через точку
параллельно плоскости
12.
Написать общее уравнение прямой,
проходящей через точку
перпендикулярно плоскости
13.
Найти точку
,
симметричную точке
относительно плоскости
14.
Составить общее уравнение плоскости,
проходящей через точку
перпендикулярно прямой
15.
Написать общее уравнение прямой,
проходящей через точку
перпендикулярно прямой
и пересекающей ее.