
- •Глава II. Аффинные множества
- •2.2. Аффинные множества
- •2.3. Задание аффинных множеств
- •1. Задание аффинного множества системой линейных уравнений
- •3. Задание аффинного множества
- •2.4. Направляющее подпространство
- •□ Теорема 2.7. Если – аффинное множество в пространстве , то множество является подпространством пространства .
- •1. Направляющее подпространство множества
- •2. Направляющее подпространство аффинной оболочки
- •3. Направляющее подпространство
- •2.5. Размерность аффинного множества
- •2.6. Уравнения аффинного множества
- •1. Уравнение фигуры
- •2. Параметрическое уравнение аффинного множества
- •2. Общее уравнение аффинного множества в пространстве
- •2.7. Прямые гиперплоскости и полупространства
- •1. Прямые в пространстве
- •2. Гиперплоскости в пространстве
- •3. Полупространства пространства
- •2.8.Прямые, плоскости и полупространства в
- •2. Общее уравнение прямой в пространствах и
- •3. Полупространства в пространствах и
Глава II. Аффинные множества
2.1. N-мерное
точечное пространство
Если
на плоскости или в пространстве введена
система координат, то каждая пара чисел
задает точку на плоскости, а каждая
тройка чисел – точку в пространстве.
Более того, множество
всех пар чисел можно отождествить с
множеством всех точек плоскости, а
множество
всех троек чисел – с множеством всех
точек пространства, что позволяет
следующим образом обобщить понятия
точки, плоскости и пространства.
Произвольный
упорядоченный набор из
чисел
называется
-мерной
точкой, а
сами числа
– координатами
этой точки.
Совокупность всех
-мерных
точек называется
-мерным
точечным пространством
.
Если
точка М
пространства
имеет координаты
,
то будем писать
.
Точка
называется началом
координат.
Множество
всех точек пространства
,
у которых все координаты, кроме k-ой,
равны нулю,
называется
координатной
осью
.
Из этого определения следует, что ось
состоит из всех точек вида
,
где
– произвольное действительное число.
Отметим, что в пространстве
имеется n
координатных осей:
.
Совокупность
всех точек пространства
,
у которых k-я
координата равна нулю, называется
координатной
гиперплоскостью
.
Таким образом, гиперплоскость
состоит из точек вида
,
где
независимо друг от друга пробегают все
действительные числа. В пространстве
имеется n
координатных гиперплоскостей:
гиперплоскости
.
На
плоскости и в трехмерном пространстве
направленным отрезком называется
отрезок, у которого отмечены начало и
конец. Первой в обозначении направленного
отрезка
записывают точку, которая называется
его началом, а второй – точку, являющуюся
концом этого направленного отрезка.
Таким образом, направленный отрезок
однозначно определяется упорядоченной
парой точек, т.е. парой, в которой
определено, какая из двух точек является
первой, а какая – второй. Обобщим это
определение направленного отрезка на
случай пространства
.
Упорядоченная пара точек А,В пространства называется направленным отрезком, который по-прежнему обозначается через . Точка А называется началом, а точка В – концом направленного отрезка .
Определим
координаты направленного отрезка
следующим образом. Если
,
,
то числа
,
которые равны разностям координат конца
и начала
,
называются координатами
направленного отрезка
.
В
этом случае будем писать
.
Если
соответствующие координаты n-мерного
вектора
и направленного отрезка
совпадают, то будем говорить, что вектор
отложен
от точки
пространства
,
и писать
.
Таким образом, чтобы отложить n-мерный
вектор
от точки
,
надо построить такую точку В,
чтобы соответствующие координаты
направленного отрезка
и вектора
совпадали.
Каждый
n-мерный
вектор
можно отложить от любой точки
пространства
.
Действительно, обозначим
точку с координатами
.
Тогда
.
Полагаем
,
если их соответствующие координаты
равны. Сложение направленных отрезков
и умножение их на число осуществляется
по правилам, сформулированным для
n-мерных
векторов. Направленный отрезок часто
называют вектором.
Вектор
называется радиус-вектором
точки
.
Ясно, что координаты точки
и радиус-вектора
этой точки совпадают. Вместо вектора
будем писать
.
Так как координаты векторов
и
равны, то
.
□
Теорема
2.1.
Справедливы
следующие утверждения,
где
– произвольные точки пространства
:
;
;
.
Доказательство.
1)
.
2)
.
3)
Расстоянием
между точками
и
пространства
называется длина вектора
.
Расстояние между точками
и
обозначим
.
Тогда
.
□ Теорема 2.2. Расстояние между точками пространства обладает следующими свойствам:
1.
;
2.
;
3.
.
Доказательство.
1.
.
2.
3.
.■
Задачи
Доказать
следующие утверждения, где
и т.д. − произвольные точки пространства
.
1.
;
2.
;
3.
;
4.
.
5.
+
+
=
0.
6.