8 Дифференциальные уравнения 2-го порядка

8.1 Интегрируемые типы дифференциальных уравнений 2-го порядка

Общий вид ДУ 2-го порядка

Общее решение этого уравнения содержит две независимые произвольные постоянные и . Если заданы начальные условия , при , то из системы

можно, вообще говоря определить постоянные и и найти тем самым частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным уравнениям.

Рассмотрим некоторые случаи, когда уравнение 2-го порядка решается применением операций неопределённого интегрирования.

1. Пусть .

Интегрируя, получим .

Интегрируя ещё раз, получим ,

где и  произвольные постоянные.

Пример 8.1. Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Интегрируем обе части дважды:

, , , .

Получим общее решение данного ДУ. Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

, , .

2. Пусть . Положим . Тогда .

Следовательно, исходное уравнение принимает вид .

Разделяя переменные, получим .

Интегрируя последнее уравнение, находим или

, .

Разделим переменные

. Тогда .

Пример 8.2. Решить уравнение .

Решение. Полагаем . Тогда .

Подставляя в уравнение, имеем .

Разделяя переменные и интегрируя, получим , откуда , , .

Умножим обе части на и проинтегрируем их

, , откуда .

3. Пусть . Полагаем . Тогда и данное уравнение принимает вид . Разделяя переменные и интегрируя, последовательно будем иметь , .

Определив из этого уравнения величину , путём вторичного интегрирования можно найти и .

Пример 8.3. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Полагаем и . Тогда , откуда , .

Используя начальное условие , имеем , откуда .

Следовательно, . Тогда , причём перед корнем взят знак «», т. к. при мы должны иметь .

Разделяя переменные и интегрируя, находим

. Т. к. , то , откуда .

Таким образом, искомое решение есть .

8.2 Случаи понижения порядка

Укажем два случая, когда ДУ 2-го порядка

(8.1)

приводится к ДУ 1-го порядка.

2.1. Пусть уравнение (8.1) имеет вид

.

Полагая и , получим ДУ первого порядка

,

где роль независимой переменной играет .

Пример 8.4. Решить уравнение .

Решение. Полагаем , . Тогда уравнение примет вид , .

Отсюда либо , т. е. , либо , т. е. и , откуда . Следовательно, , и . Тогда .

2.2. Пусть уравнение (8.1) имеет вид

Полагая и , получим уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией .

Пример 8.5. Решить уравнение .

Решение. Полагаем и .

Тогда , или . Полученное уравнение является однородным ДУ 1-го порядка. Сделаем замену и следовательно , а уравнение принимает вид

, , , .

Интегрируя, получим и, следовательно , и . Тогда , , откуда .