7.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа для равностоящих узлов

Пусть на отрезке задана система равноотстоящих узлов которыми отрезок делится на равных частей

где

В этом случае интерполяционный многочлен Лагранжа строится на равноотстоящих узлах и имеет более удобный вид.

Обозначим , где . Отсюда:

..................................................

Т.е. в общем случае:

(7.10)

Используя (7.10) и принятое обозначение получим:

(7.11)

Учитывая, что найдем:

(7.12)

Заметим, что в (7.12) ровно строк ( -я строка отсутствует); причем численные значения первых строк положительны, а остальные — отрицательны. Используя (7.12), получим:

т.е.

(7.13)

С учетом (7.11) и (7.13) формула Лагранжа для равноотстоящих

узлов примет вид:

(7.14)

7.4 Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов

На практике часто встречается случай, когда интерполяционная функция подбирается для таблиц с равноотстоящими значениями аргумента Рассмотрим метод построения интерполирующей функции, основанный на вычислении конечных разностей.

7.4.1 Конечные разности

Назовем конечными разностями разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции:

где Полученные конечные разности будем называть разностями первого порядка. Из разностей первого порядка получим разности второго порядка:

где

Повторяя процедуру, получим конечные разности третьего порядка:

Для конечных разностей -го порядка:

В результате получим таблицу конечных разностей:

.............

Используя понятие конечных разностей выведем интерполяционную формулу Ньютона для равноотстоящих узлов

7.4.2 Интерполяционная формула Ньютона

Полином -й степени (т.е. имеющий корней)

перепишем в виде

где — узлы интерполяции.

Т.к. полином выбирается таким образом, чтобы — значения заданной функции совпадали с — значениями интерполирующей функции в узлах, то, полагая найдем

1. Полагая найдем

2. Полагая найдем

отсюда

3. Полагая найдем

отсюда и т.д.

В общем случае и

отсюда

Подставив вычисленные значения в выражение для многочлена , получим

(7.15)

Полученное выражение называется интерполяционной формулой Ньютона для равноотстоящих узлов.

7.5 Погрешность многочленной интерполяции

1. Оценочная формула погрешности метода интерполирования по формуле Лагранжа записывается следующим образом:

(7.16)

где — максимальное значение производной от интерполирующей функции на отрезке (считаем, что функция дифференцируема на отрезке раз).

2. Погрешность при интерполяции полиномом Ньютона оценивается по формуле:

(7.17)