Методика розв’язання задач

А. Якщо заданий закон руху для натурального способу , а потрібно знайти кінематичні характеристики руху точки, то проводимо наступні дії:

1. Знаходимо положення точки у заданий момент часу і позначаємо його на траєкторії.

2. Взявши першу та другу похідні від закону руху, визначаємо швидкість та тангенціальне прискорення:

, ,

та їх значення у заданий момент часу.

3. Знаходимо нормальне прискорення

.

4. Визначаємо модуль повного прискорення.

.

Б. Якщо рух точки в площині заданий параметрично , , а потрібно знайти кінематичні характеристики точки, то проводимо наступні дії:

1. Знаходимо рівняння траєкторії точки, виключаючи час з рівнянь руху, зображаємо траєкторію та знаходимо положення точки у заданий момент часу.

2. Визначаємо компоненти швидкості та її модуль

, , .

3. Визначаємо компоненти прискорення

, ,

та знаходимо модуль прискорення

.

4. Знаходимо тангенціальне прискорення

.

5. Знаходимо модуль нормального прискорення

.

6. Визначаємо радіус кривизни траєкторії

.

В. Якщо потрібно встановити закон руху точки за відомим виразом для прискорення, то треба двічі зінтегрувати (1.14) та знайти сталі інтегрування з початкових умов. Детально ця задача розглядається в розділі „Динаміка точки”.

Приклад 1. Натуральний спосіб задавання закону руху точки. Знайти положення точки, її швидкість та прискорення в заданий момент часу = 1 с, якщо точка рухається по дузі кола, радіус якого = 12 см, за законом (см). Всі вектори зобразити на рисунку.

Розв’язання. Накреслимо коло довільного радіуса та помітимо його центр літерою . Вкажемо початкове положення - точку та додатний напрям руху (рис. 1.9).

Визначимо положення точки на момент часу = 1 с. Для цього підставимо цей час в рівняння руху та отримаємо

= 18,8 см.

Знайдемо положення точки на траєкторії, скориставшись визначенням радіанної міри кута

= 90°,

що вказує положення точки на траєкторії (рис. 1.9)

Взявши першу похідну від закону руху за часом, знаходимо закон зміни швидкості точки

,

і на момент часу = 1 с отримаємо

3,14∙4 = 12,6 см/с.

Додатне значення швидкості визначає напрям руху точки в бік зростання дугової координати (в нашому випадку – проти руху стрілки годинника), що зображено на рис. 1.9.

Похідна за часом від модуля швидкості дозволяє знайти тангенціальне прискорення

,

що на момент часу = 1 с дає

– 18,8 см/с².

Різні знаки у швидкості та тангенціального прискорення вказують на те, що їх напрями протилежні, отож, точка рухається сповільнено.

Точка рухається по колу, тому радіус кривизни траєкторії є радіус кола. Величину нормального прискорення, яке спрямоване до центру кола, знаходимо за формулою

= 12,6² / 12 = 13,2 см/с².

Повне прискорення є векторною сумою взаємно перпендикулярних складових та , тому модуль повного прискорення знайдемо скориставшись формулою Піфагора

= 22,9 см/с².

Відповідь: = 18,8 см, = 90°, 12,6 см/с, 18,8 см/с²,

13,2 см/с², 22,9 см/с².

Приклад 2. Координатний спосіб задавання закону руху точки.

Рух точки задано в параметричному вигляді многочленами

, (1)

, (2)

де - в сантиметрах, - в секундах. Визначити рівняння траєкторії руху точки і для моменту часу = 1 c знайти: 1) положення т очки на траєкторії, 2) її швидкість, 3) тангенціальне та нормальне прискорення, 4) модуль повного прискорення, 5) радіус кривизни траєкторії в цьому положенні точки. Траєкторію та всі вектори вказати на рисунку у зручному масштабі.

Розв’язання. Щоб отримати рівняння траєкторії, потрібно виключити час з рівнянь руху точки в параметричному виді. З першого рівняння маємо . Підставляючи цей вираз в друге рівняння, отримаємо

.

Отже траєкторія руху точки - парабола. Оскільки ≥ 0, то це буде лише її гілка, яка починається у точці (0, –1), що зображено на рис. 1.10.

Знайдемо положення рухомої точки .

При = 1 c з рівнянь (1) і (2) отримуємо:

2 см, 3 см.

Компоненти вектора швидкості знайдемо згідно з (1.9) як перші похідні від та за часом:

2, (3)

. (4)

Отже, компонент швидкості вздовж осі х є сталою величиною = 2 см/с, а для знаходження другого компонента підставимо = 1 с в вираз (4) і отримуємо = 8 см/с.

Модуль швидкості знайдемо згідно (1.10)

= = 8,25 см/с.

Вектори швидкостей вказані на рис. 1.10.

Тепер визначимо компоненти прискорення (у відповідності з (1.15), взявши похідні від та за часом) і отримаємо:

, (5)

= 8,0 см/с². (6)

Отже, компонент прискорення вздовж осі відсутній, а компонент прис корення вздовж осі сталий і додатний (рис. 1.11). Модуль повного прискорення знайдемо за формулою (1.16)

= 8,0 см/с².

Знаючи компоненти швидкості та прискорення, обчислимо тангенціальне та нормальне прискорення за формулами (1.23) та (1.24):

= = 7,76 см/с²,

= 1,95 см/с².

Останній результат дозволяє визначити радіус кривизни траєкторії за формулою (1.25)

= 68/1,95 = 34,8 см.

Щоб зобразити тангенціальну та нормальну складові прискорення як вектори, потрібно спроектувати вектор прискорення на два взаємно перпендикулярні напрями, один з яких спрямований вздовж напряму швидкості (рис. 1.11), складова вздовж нього визначить вектор , а другий – до центру кривизни траєкторії (в нашому випадку вліво, догори), складова вздовж нього визначить вектор .

Відповідь: точка рухається по гілці параболи і при = 1 c: (2, 3), = 8,25 см/с, 8,0 см/с², = 7,76 см/с², = 1,95 см/с², = 34,8 см.

Приклад 3. Координатний спосіб задавання закону руху точки. Рівняння руху точки задано у параметричному вигляді через тригонометричні функції однакового аргументу:

, (1)

. (2)

Для того, щоб визначити рівняння траєкторії потрібно виключити час з цих рівнянь. Оскільки аргументи тригонометричних функцій однакові, то послідовно виконаємо наступні операції. Перепишемо рівняння (1) та (2) у вигляді:

, (3)

. (4)

Піднесемо праву та ліву частину рівнянь (3) та (4) до другого ступеня, складемо праві та ліві частини і отримаємо

. (5)

Ми отримали рівняння еліпса з півосями 5 та 3 з центром у точці (2, -1).

Всі кінематичні характеристики знайдемо тим самим шляхом, яким користувалися у попередньому прикладі:

= 6,33 см, = 0,50 см,

,

.

Отже, для = 1 c :

= 2,62 см/с,

= –2,72 см/с,

см/с.

Відповідні вектори зображені на рис. 1.12.

Далі визначимо компоненти прискорення:

,

.

З останніх рівнянь знайдемо компоненти прискорення та його модуль в завданий момент часу = 1 с:

= – 4,75 см/с²,

= – 1,65 см/с²,

= 5,03 см/с².

Відповідні вектори прискорень зображені на рис. 1.13.

Тангенціальне, нормальне прискорення і радіус кривизни траєкторії руху точки , як і у попередньому прикладі, визначимо за формулами (1.23) – (1.25):

= – 2,11 см/с².

= 4,56 см/с²,

14,28/4,56 = 3,13 см.

Від’ємне значення означає, що рух точки сповільнений, а тому тангенціальне прискорення напрямлене проти вектора швидкості (порівняйте напрями зазначених векторів на рис. 1.12 та 1.13).

Відповідь: траєкторія руху точки – еліпс, при c: (6,33; 0,5), 2,62 см/с, –2,72 см/с, 3,78 см/с, –2,11 см/с², 4,56 см/с², 5,03 см/с², 3,13 см.

Приклад 4. Координатний спосіб задавання закону руху точки. Рух точки задано в параметричному вигляді рівняннями

, (1)

, (2)

де - в сантиметрах, - в секундах. Визначити рівняння траєкторії руху точки і для моменту часу = 1 c знайти: 1) положення точки на траєкторії, 2) її швидкість, 3) тангенціальне та нормальне прискорення, 4) модуль повного прискорення, 5) радіус кривизни траєкторії в цьому положенні точки. Траєкторію та всі вектори вказати на рисунку у зручному масштабі.

Розв’язання. Щоб отримати рівняння траєкторії, потрібно виключити час з рівнянь руху точки в параметричному виді. У нашому випадку аргументи тригонометричних функцій кратні двом, тому, за формулою , перепишемо перше рівняння у вигляді

Скористаємося другим рівнянням і отримаємо

.

Отже траєкторія руху точки це частина параболи яка обмежена по осі в інтервалі [-4,4] та по осі в інтервалі [-5,5]. Траєкторія зображено на рис. 1.14.

Знайдемо положення рухомої точки . При = 1 c з рівнянь (1) і (2) отримуємо:

= 2 см, = 2,5 см.

Компоненти вектора швидкості знайдемо як перші похідні від та за часом

, (3)

, (4)

при = 1 с:

см/с, см/с.

Модуль швидкості знайдемо за формулою

см/с;

В ектори швидкостей вказані на рис. 1.14.

Тепер визначимо компоненти прискорення, взявши похідні від та за часом і отримаємо:

,

,

при = 1 с:

см/с²,

см/с².

Модуль повного прискорення знайдемо за формулою

= 2,27 см/с².

Знаючи компоненти швидкості та прискорення, обчислимо тангенціальне та нормальне прискорення за формулами:

= = 1,49 см/с²,

см/с².

Останній результат дозволяє визначити радіус кривизни траєкторії

см.

Щоб знайти тангенціальну та нормальну складові прискорення як вектори, потрібно спроектувати вектор прискорення на два взаємно перпендикулярні напрями, один з яких спрямований вздовж напряму швидкості (рис. 1.14) складова вздовж нього визначить вектор , а другий – до центру кривизни траєкторії , складова вздовж нього визначить вектор .

Відповідь: точка рухається по гілці параболи і при 1 с: (2 ; 2,5), = 4,27 см/с, 2,29 см/с², = 1,49 см/с², = 1,74 см/с², = 10,48 см.