3.Ограниченные и бесконечно малые последовательности.Действия над ними

Пос-ть Xn н-ся б-б, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при всех n>N выполняется нер-во |Xn|>A, т.е. (A>0)(N=N(A))(n>N):|Xn|>A Любая б-б пос-ть явл. неограниченной. Однако неограниченная пос-ть может и не быть б-б.

Пос-ть {An} н-ся б-м, если для любого положительного числа ε (сколь бы малым мы его ни взяли) существует номер N=N(ε) такой, что при всех n>N выполняется нер-во |An|< ε, т.е. (ε>0)(N=N(ε))( n>N):|An|< ε

Св-ва: 1.Если {Xn} б-б пос-ть и все ее члены отличны от нуля, то по-сть {1\Xn} б-м и обратно. 2.Сумма и разность двух б-м пос-тей есть б-м пос-ть. (следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа б-м постей есть б-м пость.) 3.Произведение двух б-м постей есть б-м пость.4. Произведение ограниченной пости на бесконечно малую пость есть пость б-м.

4 . Предел последовательности, единственность предела.

=а –a=

Число а называется пределом последовательности если последовательность ( -а) является бесконечно малой.

(определение на языке : )

Последовательности, имеющие предел называются сходящимися.

Если последовательность сходится, то предел единственен

- сходится её предел единственен

Доказательство:

Хn стремится к а Хn=а+ (а не равно б)

Хn стремится к б Хn=б+

–a=

–б=

Вычтем из первого равенства второе:

Б-а= из этого следует что б=а

5.Арифметические действия над сходящимися последовательностями

Действия над сходящимися последовательностями

     Последовательности складываются, вычитаются или умножаются путем сложения, вычитания или умножения их соответствующих членов. Если есть две последовательности:

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ..., {a_n}

и

b₁, b₂, b₃, ..., b_n, ..., {b_n},

то получим их сумму в виде

(a₁ + b₁), (a₂ + b₂), (a₃ + b₃), ..., (a_n + b_n), ..., {a_n} + {b_n},

разность в виде

(a₁ - b₁), (a₂ - b₂), (a₃ - b₃), ..., (a_n - b_n), ..., {a_n} - {b_n},

а их произведение в виде

(a₁   b₁), (a₂   b₂), (a₃   b₃), ..., (a_n   b_n), ..., {a_n}   {b_n}.

     Частное от деления двух последовательностей получим как частное от деления членов последовательности {a_n} на соответствующие члены последовательности {b_n} при условии, что в последовательности {b_n} нет членов равных нулю.

6 .Порядковые свойства предела и порядковый признак существования предела.

Теорема a<(>)b (>)b

Теорема , a<b <

Теорема , , a

(о двух милиционерах)

_{Теорема 9.3. (о «зажатой» последовательности).}

Если для всех n имеет место неравенство

^a_n ^{ b}_n ^{ c}_n

и, кроме того,

_{существует и равны друг другу пределы lim an  lim cn  A , то существует}

предел _{lim bn} , и он тоже равен A .

^n

n

n

₃₉

►Лемма. Если для всех n выполняются неравенства 0   _n  _n

то _{lim n  0} .

^n

и _{lim n  0} ,

^n

_{► Дано:}

  0 N n>N

^_n ^{  , т.е.}

^_n ^{  , т.к.}

^_n ^{ 0 . По условию, 0  } _n ^{ }_n ^{  , таким}

образом,   0 N n>N 0   _n   , что и означает, что _{lim n  0} .◄

^n

Перейдем к доказательству теоремы.

^{Обозначим }_n ^{ b}_n ^{ a}_n ^{, }_n ^{ c}_n ^{ a}_n ^{, тогда из условия теоремы следует, что, во-}

_{первых, 0   n  n}

_{и, во-вторых, что lim n  lim cn  lim an  A  A  0 . Применяя}

n

n

n

_{лемму, получаем, что}

_{lim n  lim bn  an   0 . Так как lim an  A , по теореме о} пределе суммы получаем _{lim bn  lim bn  an  an  0  A  A .◄}