1.Равномощные множества. Счетные множества и их свойства.

Множество Х равномощно ( ) множеству У, если существуют взаимно однозначные отображения Х на У.

Множество, равномощное множеству натуральных чисел, называют счетным.

Если х Х ставится в соответствие единственный элемент y, y , то говорят, что дано отображение множества Х на У(функция).

Теорема 1.  множество содержит счетное подмножество.

Док-во.

Выберем элемент a₁A (A не пусто, так как оно бесконечно);

выберем элемент a₂A\{a₁} (A\{a₁} не пусто, так как A бесконечно);

и т.д. В результате получим множество, каждому элементу которого сопоставлено натуральное число n.

Всякое бесконечное подмножество счетного множества является счетным или конечным множеством

Теорема 2.   подмножество B счетного множества A счетно.

Д-во. Согласно Т1 из  множества B можно выделить счетное C.

Тогда CBA. В силу определения мощности |C||B||A|. Так как A и C — счетные, то |A|=|C|. Т. е. |A||B||A|. Отсюда следует, что |B|=|A|.

Тем самым, счетное множество равномощно своей  части.

(теорема Кантора) пусть при , – счетное множество, Х= , то Х - счетное (счетное (или конечное) объединение счетных множеств является счетным множеством)

Доказательство. Пусть  

A₁={a₁₁,a₁₂,…},

A₂={a₂₁,a₂₂,…},

A₃={a₃₁,a₃₂,a₃₃,…},

………………..

A_n={a_n1,a_n2,a_n3,…,a_nn,…},

………………..

Расположим элементы A в следующем порядке

a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₃₁,a₂₂, a₁₃,a₁₄,a₂₃,a₃₂,a₄₁,…

Тем самым, получили взаимно однозначное отображение N на A.

Множество рациональных чисел счетно.

Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).[1]

Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.[1]

Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.

Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.

Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

2 . Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Теорема о существовании верхней грани. Несчетность множества действительных чисел.

Пусть Х={x} – ограниченное множество вещественных чисел. Число m=inf {x} называется нижней гранью множества Х, если :

Каждое х Х (икс из множества икс большое) удовлетворяет неравенству х m;

Какого бы ни было >0, существует х’ Х такое, что х’<m+ ,

Аналогично число М=sup{x} называется верхней гранью множества Х, если :

Каждое х Х (икс из множества икс большое) удовлетворяет неравенству х ;

Для любого >0, существует x” Х такое, что х’>M- .

---------------------------------------------------

Пусть X R (Х – подмножество действительных чисел) и R. Тогда

- мажоранта Х, если х Х, х ;

- миноранта Х, если х Х, х ;

Множество называют ограниченным сверху, если у него есть мажоранта, снизу – миноранта. Если ограниченно и сверху, и снизу, то просто ограниченным.

Пусть Х – множество, ограниченное сверху. Верхней гранью множества Х называют наименьшую мажоранту.(sup X)

Пусть Х – множество, ограниченное снизу. Нижней гранью множества Х называют наибольшую миноранту. (inf X)

------------------------------------------

Пусть Х 0 (не пустое) и ограниченно сверху, sup X (существует верхняя грань). (лист 4)

Множество х=(0,1) не является счетным множеством. (лист 9)