1. Сделаем замену , тогда , а . Следовательно,

2. . Так как , а , выберем в качестве новой переменной . Тогда . Поэтому

Интегрирование квадратичных иррациональностей.

При вычислении интегралов свести подынтегральную функцию к рациональной помогают замены:

а) при этом dx = acos t dt, .

б) tg t, тогда ,

в) соответственно

Пример 1. Вычислим интеграл Пусть тогда

Заметим, что

. Поэтому ответ можно представить в виде:

Пример 2. Для вычисления интеграла выберем замену x = 3tg t. При этом

, где u = sin t . Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, получим:

(Учитываем, что ).

Пример 3. Вычислим интеграл с помощью замены . Тогда

60.Интегрирование тригонометрических функций.

Лекция 10. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Интегрируемость в элементарных функциях.

Рассмотрим интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

1. Интегралы вида вычисляются с применением формул (10.1) Пример.

2. Интегралы вида , где т и п – целые числа, интегрируются с помощью замен: а) если хотя бы одно из чисел т,п – нечетное (например, т), можно сделать замену t = sin x (или t = cos x при нечетном п). Пример 1. Пример 2. б) если т и п – четные положительные числа, можно понизить степени тригонометрических функций с помощью формул . Пример. в) если т и п – четные и хотя бы одно из них отрицательно, можно применить замену t = tg x или t = ctg x. Пример.

3. Интегралы вида где R – рациональная функция, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: , тогда , (10.2) то есть все составляющие подынтегрального выражения представляют собой рациональные функции от t. Пример. Если подынтегральная функция имеет вид R (sin²x, cos²x), можно выбрать замену t = tg x. При этом , (10.3) и степень полученной рациональной функции будет ниже, чем при универсальной тригонометрической подстановке, что облегчает дальнейшее интегрирование. Пример.