Системы счисления(5)
2-ричная система использует для изображения чисел всего 2 символа – 0 и 1. При этом любое число может быть представлено как комбинация нулей и единиц.
Система основывается на степенях 2, т.е. любое число записывается по основанию 2.
Например число 10102 это 1*23+0*22+1*21+0*20
вдесятичной записи это число равно 1*8+0*4+1*2+0*1=1010
При записи числа степени двойки опускаются, однако каждый разряд имеет вес (1,2,4,8…). В каждом разряде цифры меняются от 0 до 1. При переполнении разряда значение текущего разряда обнуляется, а старшего – увеличивается на 1.
+ 10110 |
- |
11011 |
|
11010 |
|
10011 |
|
------------- |
------------ |
11 |
|
110000 |
|
01000 |
|
|
|
||
Системы счисления (6)
Двоичная система позволяет работать не только с целыми, но и дробными числами.
Обычную дробь 0.324 можно представить в виде 3/10+2/100+4/1000 или 3/101+2/102+4/103, где знаменатели
-увеличивающиеся степени 10.
Вдвоичной дроби в качестве знаменателя используются степени 2.
Так, двоичную дробь 0.101 можно записать 1/21+0/22+1/23 или 1/2+0/4+1/8 , что в десятичной системе равно 0.5+0.0+0.125 = 0.625
Однако, не все дроби можно точно представить в двоичной форме (1/3 или 2/5).Точно представляются только дроби, которые являются степенями 2 (3/4 или 5/8).
При переводе вещественного числа, отдельно переводятся
целая и дробная части. |
12 |
|
Системы счисления (7)
Так как и 8 и 16 являются степенями 2, то между этими тремя системами существует удобная схема пересчета, которая часто используется в информатике.
00002 |
016 |
01012 |
516 |
|
11112 |
F16 |
|
0002 |
08 |
01012 |
58 |
|
11112 |
178 |
|
Например |
|
|
|
|
|
|
|
101012 =1*24+0*23+1*22+0*21+1*20 |
= 16+4+1 =2110 |
|
|||||
1516 |
= 1*161+5*160 |
|
= |
16+5 |
=2110 |
|
|
258 |
= 2*81+ 5*80 |
|
= |
16 +5 |
=2110 |
|
|
10011100 |
=1*128+0*64+0*32 +1*16+1*8+1*4+0*2+0*1=15610 |
||||
10011100 2 |
010011100 2 |
|
|||
9 |
C |
16 |
2 3 4 |
8 |
|
9*16+12 |
= 15610 |
2*64+3*8+4 =15610 |
13 |
||
|
|
||||
1.3 Алгебра логики
Логика – это наука о формах и способах мышления.
Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов реального мира.
Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. Основными формами мышления являются понятия, высказывания и умозаключения.
Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.
Понятие имеет две стороны: содержание и объем. Содержание понятия составляет совокупность
существенных признаков объекта
Объем определяется совокупностью предметов, на которую распространяется это понятие
14
Алгебра логики (2)
Высказывание – Это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними.
Высказывание может быть истинно или ложно (ЛОЖЬ или ИСТИНА, 0 или 1, FALSE или TRUE).
Истинным называется высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей.
Ложным называется высказывание, которое не соответствует реальной действительности.
Высказывание может быть выражено с помощью повествовательного предложения естественного языка, а также на формальном математическом языке.
На основе простых высказываний могут быть построены составные высказывания.
15
Алгебра логики (3)
Умозаключение – это форма мышления, с помощью
которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение)
Умозаключения позволяют на основе известных фактов, выраженных в форме высказываний ( суждений),
получать заключения, то есть новое знание.
Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, оно будет истинным.
В противном случае можно прийти к ложному умозаключению.
Например «Все углы треугольника равны» => «Треугольник равносторонний»
16
Алгебра логики (4)
Алгебра логики- Раздел математики, изучающий процессы умозаключений и законы, которые позволяют из истинности одних высказываний делать заключения об истинности или ложности других высказываний, независимо от их конкретного содержания.
Алгебра логики была создана в 1854 г. Дж. Булем и в настоящее время находит широкое применение при разработке алгоритмов и для структурно- функционального анализа электронных схем.
Базовым понятием алгебры логики служит высказывание.
В алгебре логики или алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных,
которые могут принимать значение «истина» или «ложь»
17
Алгебра логики (5)
Базовыми операциями алгебры логики служат операции логического умножения – конъюнкции (обозначается
точкой или знаком ^), логического сложения – дизъюнкции (обозначается знакам + или v ), логического отрицания – инверсии (обозначается надчеркиванием или знаком ¬).
При составлении формул применяются скобки, чтобы изменять порядок выполнения операций. Наивысшим приоритетом обладает операция инверсии, затем идет конъюнкция и потом уже дизъюнкция.
Таблицы истинности для указанных операций:
|
|
|
А |
В |
В^A |
А |
В |
В v A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
А |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Алгебра логики (6)
Представляют интерес еще две логические операции: эквиваленции (обозначается знаком ) и импликации (обозначается знаком =>).
А |
В |
В A |
А |
В |
В=>A |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
||||
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
||||
1 |
1 |
1 |
||||
|
|
|
19
Алгебра логики (7)
Законы алгебры логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления.
В алгебре логики законы записываются в виде формул, которые позволяют приводить эквивалентные преобразования логических выражений.
Основные логические законы Закон тождества: всякое высказывание тождественно самому
себе
X => X
Закон непротиворечия: высказывание не может быть одновременно истинно и ложно
( X X )
20
X X
Алгебра логики (7)
Закон исключенного третьего : высказывание может быть либо истинным либо ложным. Третьего не дано. Это значит, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение истина.
X X
Закон двойного отрицания: Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате получим исходное высказывание
X X
21
X X
Алгебра логики (7)
Закон коммутативности : в алгебре логики можно менять местами логические переменные в операциях логического умножения и сложения.
X Y Y X
Закон ассоциативности: Если в логическом выражении используются только операции логического умножения или логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.
X (Y Z ) ( X Y ) Z
22