Лекция 5 (часть 2). ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ

1. Разделенные разности и их свойства

2. Интерполяционная формула Ньютона

3. Интерполяционные сплайны

1. Разделенные разности и их свойства

Обобщением понятия производной является понятие разделенной разности. Разделенные разности нулевого порядка просто совпадают со значениями функции ; разности первого порядка определяются равенством:

. (230)

Если вспомнить определение производной функции в точке :

,

и сравнить с (230), то становится очевидной аналогия разделенной разности с производной.

Разделенные разности второго порядка определяются равенством:

,

и вообще, разности -го порядка определяются через разности -го порядка в соответствии с формулой:

. (240)

Лемма. Справедливо равенство:

. (250)

Доказательство. Для доказательства воспользуемся методом математической индукции. Проверим выполнение (250) для :

;

для :

,

а ,

что говорит о выполнении (250) для .

Предположим, что для для формула (250) доказана. Покажем, что тогда она верна и для , т.е. , а коэффициент при действительно равен

. (255)

Для этого преобразуем выражение для , которое получается по определению разделенной разности -го порядка:

(260)

Если , то присутствует в обеих суммах, стоящих в скобках в правой части формулы (260). Коэффициенты при в первой и второй суммах соответственно равны:

, .

Тогда полный коэффициент при в правой части формулы (260) равен:

что в точности отвечает (255).

Для или значение входит только в одну сумму в скобках в правой части формулы (260) и коэффициент при нем, как легко убедиться, также имеет требуемый вид (255).

Из предыдущей леммы вытекает, что разделенная разность является симметрической функцией своих аргументов , т.е. не меняется при любой их перестановке.

Если функция задана в точках , то таблицу

называют таблицей разделенных разностей. Таблица разделенных разностей часто используется для удобства при вычислении значения , а также всех разделенных разностей меньшего порядка.

2. Интерполяционная формула Ньютона

Получим еще одну форму записи интерполяционного многочлена, строящегося по набору узлов интерполяции и значений функции , в этих узлах. Пусть - отвечающий имеющемуся набору данных интерполяционный многочлен Лагранжа (180). Тогда справедливо равенство:

.

Учитывая, что , стоящее в знаменателе последней дроби выражения в скобках, отличается от , стоящего в числителе, только наличием множителя , то после сокращения дроби получим:

.

Выражение в скобках – это , а с учетом обозначения (185) последняя формула примет вид:

. (270)

Пусть - интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами интерполяции . Интерполяционный многочлен Лагранжа можно представить в виде:

. (280)

Поскольку для любого - это многочлен степени , то разность для любого - это также многочлен степени , причем его корнями являются узлы . Действительно:

.

Тогда, зная все корни многочлена , его можно представить в виде:

, (290)

где .

Пусть , тогда из (290) получается:

. (300)

При и из (270):

(310)

Из равенства левых частей формул (300) и (310) получаем равенство правых частей:

,

Откуда .

Тогда формула (290) приобретает вид:

. (320)

Подставим (320) в (280):

(330)

Интерполяционный многочлен, представленный в виде (330), называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями.

Задача. Даны значения некоторой функции в узлах . Требуется для вычислить значение с заданной точностью или с наилучшей возможной точностью при имеющейся информации.

Предлагаемый ниже алгоритм решения задачи является довольно типичным для ситуации, возникающей в реальной практике. Невозможно предложить обоснованный алгоритм решения поставленной задачи для всех функций, поскольку про функцию ничего не известно, кроме ее значений в заданных точках. Однако, предполагая функцию гладкой, мы выводим практический критерий оценки погрешности и, основываясь на нем, строим алгоритм решения задачи.

Пусть фиксировано. Предположим, что узлы интерполяции перенумерованы в порядке возрастания (это всегда можно сделать). Выше было получено представление погрешности интерполирования в виде (270):

, (340)

кроме того, из (320):

. (350)

Сравнивая (210) и (270), из равенства левых частей этих формул получаем равенство правых частей:

,

откуда , (360)

где , . При малых из (360) получаем:

. (370)

Тогда из (340) и (350) с учетом (370) получаем:

.

Величину можно рассматривать как приближенную оценку погрешности интерполяционной формулы . Таким образом, для решения поставленной задачи последовательно вычисляются значения , , , ...; если при некотором будет выполняться

, (380)

то вычисления прекращаются и полагают

.

Если (380) не выполняется ни для какого (а уже достигло достаточно большого значения), то находят

и полагают

.

Если этот минимум достигается при нескольких , то среди них выбирают наименьшее. Если величины , начиная с некоторого , имеют устойчивую тенденцию к увеличению, то с этого момента вычисление значений прекращают.

Замечание. Пусть даны значения некоторой функции в узлах . Требуется построить интерполяционный многочлен степени . Независимо от выбранного способа построения (при помощи решения соответствующей системы линейных уравнений, многочлен Лагранжа, Ньютона и т.д.) по имеющимся данным многочлен определяется однозначно. Лишь соображения, связанные с памятью и временем реализации могут повлиять на выбор метода построения интерполяционного многочлена.