2. Полиномиальная интерполяция

В силу исторических и практических причин наиболее важным для интерполяции классом базисных функций является множество многочленов. У многочленов есть очевидные преимущества перед другими функциями: их легко вычислять, их легко складывать, умножать, интегрировать и дифференцировать.

Любую непрерывную функцию можно приблизить на отрезке некоторым многочленом . Это следует из аппроксимационной теоремы Вейерштрасса: если произвольная непрерывная на сегменте функция, то для любого найдется такой многочлен степени , что

.

Хотя некоторые доказательства теоремы Вейерштрасса являются конструктивными (в процессе доказательства строится нужный многочлен), обычно в результате получается многочлен такой высокой степени, что использовать его на практике невозможно. Более того, теорема Вейерштрасса ничего не говорит о существовании удовлетворительного интерполирующего многочлена для заданного набора данных. И хотя важно знать, что некоторый полином приближает с предписанной точностью на всем отрезке , нет никакой гарантии, что этот многочлен удастся найти с помощью практического алгоритма.

Выберем в качестве базисных функций неотрицательные целые степени переменной :

.

Система (110) будет иметь вид:

,

где

(125)

- интерполяционный многочлен степени ,

или

. (130)

Все различны, решение системы (130) существует и единственно, следовательно существует единственный интерполяционный многочлен вида (125).

Поскольку все множество данных: набор узлов интерполяции и значений функции , в этих узлах, включается в одну полиномиальную интерполирующую функцию , то называется глобальным интерполянтом этих данных.

3. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Имеется набор узлов интерполяции и значений функции . Необходимо построить по этим данным интерполяционный многочлен . Этот многочлен, исходя из (125) и (130) будет иметь степень . Задача интерполирования будет решена, если удастся построить многочлены , , степени такие, что

. (135)

Тогда многочлен

(140)

будет искомым интерполяционным многочленом. Действительно, поскольку в соответствии с (140) – сумма многочленов степени , то и - многочлен степени . Проверим выполнения условия интерполяции:

. (150)

Вычислим

Таким образом, условие (150) выполнено.

Задание многочленов , , в виде (135) определяет корень для каждого из - это узлы интерполирования , для которых . Поскольку степень - , то известны все корни , и тогда имеет место представление:

. (160)

где - пока неизвестная константа.

Поскольку при совпадении индексов , то из (160) следует:

. (170)

Тогда с учетом (170) имеет вид:

,

а искомый интерполяционный многочлен с учетом (140):

. (180)

Многочлен (180) называется интерполяционным многочленом Лагранжа для функции , построенным по набору узлов интерполяции и часто обозначается: - здесь - это количество узлов интерполяции (соответственно степень многочлена Лагранжа будет на единицу меньше, т.е. ).

Как можно оценить качество интерполянта? После того, как вычисленны коэффициенты (представление (125)), следующий шаг – вычислить значение интерполянта в заданных узлах и проверить, что заданные значения функции , в этих узлах воспроизводятся в пределах ошибок округления. На практике интерполянт будет вычисляться во многих других точках, и невозможно установить его общее поведение, зная только, что он хорошо воспроизводит входные данные. Но все-таки в некоторых ситуациях качество интерполянта можно проанализировать.

Обозначим

. (185)

Можно доказать, что для любого :

, (190)

где .

Действительно, предположим, что непрерывна на . Оценим разность , где . Пусть

. (195)

Выберем из условия

.

Очевидно:

, (197)

т.е. принципиально можно найти.

При т аком выборе функция обращается в 0 в точке: . На основании теоремы Ролля ее производная обращается в ноль, по крайней мере, в точках (т. Ролля: если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в , и , то существует , по крайней мере, одна точка , что ).

Применяя теорему Ролля к функции ,получаем, что ее производная обращается в 0, по крайней мере, в точке и т.д.. В итоге получаем, что обращается в 0, по крайней мере, в одной точке , где .

Поскольку

то

,

а значит

. (200)

Поскольку из (197) , то подставляя сюда из (200), получим:

, . (210)

Формула (210) – формула остаточного члена (или погрешности) интерполяционного многочлена Лагранжа.

Пример. Вычислить погрешность (ошибку) полиномиальной интерполяции третьей степени для функции , построенную по узлам . Необходимо оценить ошибку интерполяции в точке .

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3-ей степени в соответствии с формулой (180) имеет вид

и .

Выражение для погрешности дает в соответствии с (190) дает:

Таким образом, ошибка будет меньше, чем

. (220)

Фактическая величина погрешности есть

,

что полностью соответствует оценке (220).

Рассмотрим, что получится, если интерполировать известную функцию все в большем и большем числе точек на фиксированном интервале. Логично, на первый взгляд надеется, что оценка погрешности интерполяции в точках, отличных от узлов, улучшится. Однако, если внимательно посмотреть на выражение (210) для погрешности интерполяции, то можно заметить следующее: хотя факториал и произведение разностей с увеличением уменьшают ошибку, но при этом растет порядок производной . Для большинства функций величины производных увеличиваются быстрее, чем . В результате полиномиальные интерполянты редко сходятся к обычной непрерывной функции с ростом . Практический эффект выражается в том, что полиномиальный интерполянт высокой степени может «вести себя плохо», приближая значения в точках, отличных от узлов интерполяции. Поэтому почти всегда используются интерполянты степени не выше 4 или 5.

Пример. Функция Рунге.

Подробный анализ опасностей, возникающих при полиномиальной интерполяции, был впервые опубликован Рунге в 1901 г. Он пытался интерполировать полиномами простую функцию

в точках равномерной сетки на сегменте . Он обнаружил, что при стремлении степени интерполирующего полинома к бесконечности не стремятся к при . Это явление графически показано на рис.3. При этом полиномиальная интерполяция хорошо работает в средней части .

Расходимость последовательности интерполянтов с ростом объясняется быстрым ростом производных с ростом их порядка (см.(210)).

Рис.3.

Замечание 1. Если узлы интерполирования расположить неравномерно, сконцентрировав их ближе к концам , то расходимость последовательности интерполянтов исчезнет. В результате полиномиальные интерполянты будут сходиться к при стремлении к бесконечности для любого из . Однако, в общем случае такой прием не срабатывает: не существует правила для выбора узлов интерполяции, которое бы работало для всех непрерывных функций. В то же время для любой конкретной функции можно индивидуально подобрать расположение узлов.

Замечание 2. Число арифметических операций для построения интерполяционного многочлена Лагранжа по узлам интерполяции в соответствии с формулой (180) составляет арифметических операций.

Замечание 3. Существует много обобщений для интерполяции Лагранжа. Например, интерполяции Эрмита. Исходными данными здесь являются значения приближаемой функции и значения ее производной в узлах интерполирования: . Задача состоит в том, чтобы найти полином максимальной степени такой, что

.