4.3. Проблема идентификации

Использование приведенной формы при анализе эконометрической модели, хотя и позволяет устранить проблему коррелированности объясняющей переменной и случайного отклонения, однако может привести к другой, не менее серьезной проблеме - проблеме идентификации. Под последней понимается проблема возможности восстановления параметров поведенческих уравнений структурной формы по оценкам коэффициентов приведенных уравнений.

Исходную систему уравнений называют точно идентифицируемой (точно определенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно однозначно определить значения коэффициентов структурных уравнений. Обычно это удается сделать, когда количество уравнений для определения коэффициентов структурных уравнений в точности равно количеству этих коэффициентов. И косвенный метод наименьших квадратов вполне пригоден для решения проблемы идентификации таких уравнений.

Исходную систему уравнений называют сверхидентифицируемой (переопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений невозможно определить значения коэффициентов структурных уравнений. В этом случае система, связывающая коэффициенты структурных уравнений с коэффициентами приведенных уравнений, является несовместной. Обычно это происходит, когда число уравнений для оценки коэффициентов структурных уравнений больше числа определяемых коэффициентов. Описанный выше косвенный метод наименьших квадратов (в той или реализации) бессилен для нахождения оценок параметров структурных уравнений. Тем не менее, существуют специальные методы, позволяющие оценить параметры структурных уравнений. И в этом смысле сверхидентифицируемые системы уравнений поддаются идентификации.

Исходную систему уравнений называют неидентифицируемой (недоопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно получить несколько вариантов значений коэффициентов структурных уравнений. Обычно такая ситуация возникает, когда количество уравнений для определения коэффициентов структурных уравнений меньше числа определяемых коэффициентов. Иначе говоря, в случае неидентифицируемости информации "слишком мало".

Заметим, что понятия идентифицируемости, неидентифицируемости или сверхидентифицируемости могут относиться не только ко всей системе в целом, но также и к отдельным ее поведенческим уравнениям.

Так в системе (4.4) из примера 4.3 первое уравнение (функция спроса) является неидентифицируемым, так как значения трех его параметров ₀, ₁, ₂ оцениваются всего по двум уравнениям, связывающим их:

₁₀=(₀-₀)/(₁-₁) и ₁₁=₂/(₁-₁).

С другой стороны, как было показано, второе уравнение системы (4.4) является точно идентифицируемым.

Для быстрого формального определения идентифицируемости структурных уравнений применяются соответствующие необходимые и достаточные условия.

Пусть система одновременных уравнений включает в себя N поведенческих уравнений относительно N эндогенных переменных. Пусть также в системе имеется М экзогенных и предопределенных переменных. Пусть в проверяемом на идентифицируемость уравнении количество эндогенных и предопределенных переменных равно n и m соответственно.

Необходимое условие идентифицируемости

Для точной идентифицируемости или сверхидентифицируемости уравнения необходимо выполнение неравенства:

Mmn1. (4.8)

Достаточное условие идентифицируемости

Уравнение является идентифицируемым (точно или сверх-), если ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, но входящих в другие уравнения системы, равен N1. При этом если соотношение (4.8) выполняется как равенство, то это уравнение является точно идентифицируемым; если же оно выполняется как строгое неравенство, то уравнение сверхидентифицируемо.

Замечание 4.1. Заметим, что в подавляющем числе систем одновременных уравнений выполнение необходимого условия почти гарантирует идентификацию. Это дало повод авторам некоторых пособий [11, 14] при рассмотрении конкретных примеров обращаться с необходимым условием как с достаточным, что, конечно, математически не корректно. В целом для большинства систем одновременных уравнений характерны следующие соотношения:

а) равенство Mm=n1 обычно соответствует точно идентифицируемым уравнениям;

б) неравенство Mm>n1 - сверхидентифицируемым уравнениям;

в) неравенство Mm<n1 влечет неидентифицируемость уравнения.

Пример 4.5.

В рассмотренной выше системе одновременных уравнений (4.4) из примера 4.3 общее число эндогенных переменных N=2, а число предопределенных переменных M=1. Первое уравнение включает две эндогенные переменные (n=2) и одну экзогенную переменную (m=1). Следовательно, необходимое условие идентифицируемости не выполняется: M-m<n-1. Уравнение неидентифицируемо.

Второе уравнение включает две эндогенные переменные (n=2) и ни одной экзогенной переменной (m=0). Здесь необходимое условие идентифицируемости выполняется как равенство. Проверим достаточное условие. В этом уравнении отсутствует переменная y_t. Матрица из коэффициентов при переменной y_t состоит всего из одного столбца:

.

Очевидно, при ₂0 ранг матрицы А равен 1, т.е. в точности N-1. Достаточное условие выполняется, уравнение точно идентифицируемо.

Пример 4.6.

Рассматривается следующая модель:

где C_t и C_t-1 - расходы на потребление соответственно в период t и в период t-1; Y_t - совокупный доход в период t; I_t и I_t-1 - инвестиции в период t и в период t-1; r_t - процентная ставка в период t; M_t - денежная масса в период t; G_t - государственные расходы в период t; _1t, _2t, _3t - случайные ошибки.

Каждое уравнение проверить на выполнимость необходимого условия.

Решение.

Модель включает в себя четыре эндогенные переменные (C_t, Y_t, I_t, r_t) и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные - M_t и G_t и две лаговые эндогенные переменные - C_t-1 и I_t-1). Таким образом, N=4, M=4.

а. Первое уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (C_t и Y_t) и одну предопределенную переменную (C_t-1). Поэтому n=2, m=1 и выполняется неравенство: Mm>n1 (41>21).

Построим матрицу А₁, состоящую из коэффициентов при переменных, входящих в систему, но отсутствующих в первом уравнении. В первом уравнении отсутствуют переменные I_t, r_t, I_t-1, M_t , G_t. Для удобства запишем матрицу А₁ в табличной форме.

Уравнения системы	Коэффициенты перед переменными:
	It	rt	It-1	Mt	Gt
Уравнение 1	0	0	0	0	0
Уравнение 2	1	1	2	0	0
Уравнение 3	0	1	0	2	0
Уравнение 4	1	0	0	0	1

Рассмотрим минор третьего порядка, соответствующий первому, второму, пятому столбцам и последним трем строкам матрицы:

.

Нетрудно посчитать, что он равен 1, т.е. отличен от нуля. Следовательно, ранг матрицы А₁ равен N1=3. Согласно достаточному условию, первое уравнение является сверхидентифицируемым.

б. Второе уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (I_t и r_t) и одну предопределенную переменную (I_t-1). Поэтому, как и в первом случае, выполняется неравенство Mm>n1.

Построим матрицу А₂, состоящую из коэффициентов при переменных, входящих в систему, но отсутствующих во втором уравнении. Во втором уравнении отсутствуют переменные С_t, Y_t, C_t-1, M_t , G_t. Соответствующая матрица А₂ имеет вид:

Уравнения системы	Коэффициенты перед переменными:
	Сt	Yt	Ct-1	Mt	Gt
Уравнение 1	1	1	2	0	0
Уравнение 2	0	0	0	0	0
Уравнение 3	0	1	0	2	0
Уравнение 4	1	1	0	0	1

Рассмотрим минор третьего порядка, соответствующий первому, четвертому, пятому столбцам и первой, третьей, четвертой строкам матрицы:

.

Следовательно, ранг матрицы А₂ равен N1=3. Согласно достаточному условию, второе уравнение является сверхидентифицируемым.

в. Третье уравнение.

Это уравнение, как и второе, включает две эндогенные переменные (y_t и r_t) и одну предопределенную переменную (M_t). Снова выполняется неравенство Mm>n1. Достаточное условие идентифицируемости для него также выполняется. Проверку условия предоставляем произвести читателю самостоятельно.

г. Четвертое уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Таким образом, все уравнения системы являются сверхидентифицируемыми.