1.3. Сложная процентная ставка Основные формулы и примеры

Сложные проценты (декурсивные) начисляются исходя из заданной ставки, как на основную сумму кредита, так и на весь накопленный доход. Также называются реинвестирование дохода, капитализация дохода, процент на процент. Используются в средне- и долгосрочных финансовых операциях.

База для начисления сложных процентов увеличивается с каждым шагом во времени, поэтому сумма начисляемых процентов постоянно возрастает. Процесс наращения происходит с ускорением, что можно заметить в примере 13.

Пример 13. Рассмотрим начисление сложных процентов, если инвестировано 100 000 рублей на банковский депозит на 3 года под 10% годовых.

Таблица 2

Начисление сложных процентов

№ года	Сумма на счете в начале года	Проценты, начисленные в конце года
1	100 000	100 0000,1=10 000
2	110 000	110 0000,1=11 000
3	121 000	121 0000,1=12 100
4	133 100

В конце каждого года проценты начислялись на сумму, лежавшую на счете в начале года. Первоначальный вклад – это текущая стоимость денег PV=100 000 руб. Накопленная сумма – это будущая стоимость денег, которая по таблице 2 составила FV=133 100 руб.

Будущая стоимость (формула наращения)

FV=PV(1+r)ⁿ. (9)

где (1+r)ⁿ – коэффициент наращения; r – процентная ставка за период начисления, выраженная в долях единицы; n – количество периодов начисления процентов по ставке r.

Пример 14. Вкладчик положил в банк 100 000 рублей под 10% годовых. Какая сумма будет на счете через три года.

Используем формулу (9):

руб.

Текущая стоимость (математическое дисконтирование или приведение по вкладу)

, (10)

где ­ коэффициент дисконтирования.

Пример 15. По окончании второго года на счёте находится 300 000 рублей. Определите первоначальную сумму вклада, если начислялось 12% годовых.

С помощью формулы (10) получаем:

руб.

Из исходной формулы (9) можно вывести следующее.

Процентная ставка

. (11)

Срок операции

. (12)

Пример 16. Инвестировано 100 000 рублей. Определить минимальную ставку в банке, которая позволит через два года накопить 250 000 рублей.

По формуле (11) ставка будет равна:

или 58,11%.

Пример 17. Банк выплачивает сложные проценты. Какую минимальную ставку должен обеспечить банк для того, чтобы за четыре года средства вкладчика увеличились в 5 раз?

По формуле (11):

или 49,53%.

Пример 18. Через сколько лет 1 рубль превратится в 10 рублей, если ставка процента равна 20% годовых.

По формуле (12)

лет; 0,63·360=226,8 дней.

Получаем ответ: через 12 лет и 227 дней.

В разные периоды разные ставки

, (13)

где ставка r₁ начисляется n₁ периодов; ставка r₂ начисляется n₂ периодов и т. д., всего k разных ставок.

Пример 19. Банк выплатил за первый и второй годы проценты по ставке 10% годовых, а потом ставка увеличилась на 20%. Определить сумму вклада, если через 3,5 года на счете 430 262,67 руб.

Вторая ставка равна .

Из формулы (13) выводим формулу дисконтирования:

руб.

Доход начисляется несколько раз в год, а ставка годовая.

, (14)

где r – годовая (номинальная) процентная ставка; k – число начислений в году; n – количество лет.

Сравнивая формулы (9) и (14) можно сделать вывод, что – это ставка за период начисления, kn – количество периодов начисления процентов по ставке .

Номинальная процентная ставка – годовая ставка сложного процента, доход по которой начисляется несколько (k) раз в год. Не отражает реальной эффективности финансовой операции (при k > 1), поэтому некорректно использовать для сопоставления ставки с разными значениями k.

Эффективная процентная ставка – годовая ставка сложного процента, доход по которой начисляется один раз в год. Она дает тот же финансовый результат, что и начисление процентов k раз в год по номинальной ставке r. Эффективная ставка измеряет реальную доходность, которую получает кредитор за год. Используется для сравнения финансовых операции, предусматривающих разные периоды начисления сложных процентов.

, (15)

, (16)

где r – годовая (номинальная) процентная ставка, начисляемая k раз в год; r_k – процентная ставка за период начисления.

Пример 20. Вкладчик положил в банк 100 000 рублей под 10% годовых. Какая сумма будет на счете через три года, если проценты начисляются: а) ежеквартально; б) ежемесячно.

Используем формулу (14):

а) руб.,

б) руб.

Сравнивая ответы в вариантах (а) и (б) с примером 14, можно сделать вывод, что чем чаще в течение года начисляются сложные проценты, тем больше будущая стоимость за счет реинвестирования дохода, увеличения базы начисления процентов.

Пример 21. По вкладу в банке ежеквартально начисляется 5%. Найти номинальную ставку и реальную доходность за год.

Номинальную ставку определяем по формуле (8): r=5%4=20% годовых.

Эффективную ставку определяем по формуле (16), так как в примере дана ставка за период начисления:

или 21,55% реальная доходность за год.

Пример 22. Банк начисляет 18% годовых ежемесячно. Определить номинальную и эффективную ставки.

Номинальная ставка равна 18% годовых по определению.

Эффективную ставку определяем по формуле (15), так как в условии дана годовая ставка:

или 19,56% реальная доходность за год.

Для процентных ставок реальная доходность за год больше, чем показывает номинальная ставка.

Пример 23. Бескупонные облигации А и Б имеют одинаковый номинал. Когда до погашения облигации А оставалось два года, а до погашения облигации Б – 4 года, рыночная стоимость облигации Б составила 70% от стоимости облигации А. Рассчитать величину альтернативной годовой доходности (по альтернативным возможностям инвестирования).

Бескупонные облигации продаются по цене дешевле номинала, а погашаются по номиналу. Их ориентировочная рыночная стоимость определяется по формуле дисконтирования (10) для сложной процентной ставки.

Приведем по формуле (10) номинальные стоимости облигаций к одному моменту времени, это текущий момент времени:

, ,

где FV – номиналы облигаций, которые вернут в конце срока.

По условию рыночные стоимости облигаций соотносятся 0,7PV_A= PV_Б.

Получили уравнение:

.

После сокращения остается

.

Откуда

,

альтернативная годовая доходность равна 19,52%.

Сравнивая начисление по простым и сложным процентам, можно заметить, что простые проценты приносят большую прибыль за срок, меньший одного периода начисления, а сложные проценты приносят большую прибыль за срок больший одного периода начисления. Если срок операции равен одному периоду начисления, то простые и сложные проценты приносят одинаковый доход.

Смешанный метод начисления процентов применяется, когда срок финансовой операции выражен не целым числом периодов начисления. Использует преимущества простых и сложных процентов. А именно, за целое число периодов (месяцев, кварталов, полугодий, лет) начисляются сложные проценты, а долю одного периода (месяца, квартала, полугодия, года) начисляются простые проценты.

Формула наращения смешанным методом:

, (17)

где r – годовая (номинальная) процентная ставка, начисляемая k раз в год; – процентная ставка за период начисления; – целое число периодов начисления процентов; – доля одного периода начисления процентов.

Пример 24. На сумму 100 000 ежеквартально в течение 17 месяцев начисляются проценты по ставке 12% годовых. Определить накопленную сумму: а) смешанным методом; б) методом сложных процентов; в) методом простых процентов.

а) Сначала найдем число целых периодов начисления n₁ и долю одного периода начисления n₂.

Период начисления равен одному кварталу. Длина квартала 3 месяца. Разделим общий срок на длину периода, выраженную в тех же единицах, что и общий срок:

, значит , .

Проценты начисляются 4 раза в год, следовательно, k=4. Накопленную сумму смешанным методом найдем по формуле (17)

руб.

б) Накопленную сумму методом сложных процентов найдем по формуле (14). Ставка за период начисления (квартал) равна , число кварталов , значит

руб.

в) Накопленную сумму методом простых процентов найдем по формуле (4):

руб.

Пример 25. На сумму 100 000 руб. ежегодно в течение 780 дней начисляются проценты по ставке 18% годовых, временная база 360 дней. Определить накопленную сумму: а) смешанным методом; б) методом сложных процентов; в) методом простых процентов.

а) Период начисления равен одному году. По условию продолжительность года определяется приближённо и равна 360 дней. Разделим общий срок на длину периода, выраженную в днях:

, значит , .

Проценты начисляются 1 раза в год, значит k=1. Накопленная сумма смешанным методом равна (17):

руб.

б) Для сложных процентов используем формулу (9). Ставка за год (период начисления) равна 0,18, число лет , значит

руб.

в) Для простых процентов используем формулу (4):

руб.

Смешанный метод всегда даёт большую накопленную сумму, чем начисление только по сложным процентам или только по простым процентам.