2.6. Аналитические зависимости между основными показателями надежности

Вероятность отказов q(t) определяется выражением

q(t) = p(t_o<t).

С другой стороны, выражение p(t_o < t) по определению функции рас­пределения есть не что иное как функция распределения времени до отка­за:

q(t) = F(t).

Тогда

Учитывая, что

p(t) = 1-q(t),

получим

Отсюда следует

.

Подставим значение плотности вероятности отказов в выражение интен­сивности отказов:

.

В результате получится дифференциальное уравнение относительно веро­ятности безотказной работы:

Эта важная зависимость широко используется в теории надежности. Она является обобщенным законом надежности невосстанавливаемых ТУ в дифференциальной форме. Результатом интегрирования этого уравнения будет

откуда

Полученное выражение представляет собой обобщенный закон надежно­сти в интегральной форме. Подставляя этот результат в выражение f (t) = λ(t) p(t) , получим

Проведем аналогичные преобразования для среднего времени безот­казной работы:

.

Интегрируем полученное выражение по частям

Левое слагаемое , так как р(∞)=0. Поэтому

или

Это выражение связывает среднюю наработку до отказа с вероятно­стью безотказной работы. Отсюда следует, что средняя наработка до отка­за равна площади под кривой вероятности безопасной работы. Необходимо учитывать, что приведенные показатели надежности относятся к работо­способным объектам, включенным в работу в нулевой момент времени.

Рассмотрим более подробно период нормальной эксплуатации (рис. 2.2). В этот период в основном имеют место внезапные отказы. Они, имея случайный характер происхождения, подчиняются закону распреде­ления, вытекающему из условий постоянства интенсивности отказов. По­этому для этого периода можно считать, что интенсивность отказов явля­ется практически постоянной величиной, то есть

λ(t) = const = λ . В связи с этим основные зависимости примут вид:

p(t) = e^-λt ,

q(t) =1- p(t) =1- e^-λt ,

f (t) = λe^-λt ,

Полученное выражение для p(t) называют экспоненциальным законом надежности. Само это выражение, а также выражение для определения q(t) соответствуют аналогичным вероятностям, полученным в п. 2.2 на­стоящей главы. Это означает, что в период нормальной эксплуатации по­ток отказов является простейшим.

Принимая во внимание последнее выражение, получим

p(t) = e^-t/T.

При t =T вероятность безотказной работы будет равна

p(t)=e^-1 ≈ 0,37.

Это говорит о том, что для обеспечения высокого уровня надежности невосстанавливаемых ТУ следует выбирать срок их службы намного меньший, чем среднее время безотказной работы. Так, например, если t/T = 0,1, то p(t) = 0,9, или сокращение срока службы в 10 раз ведет к увеличению вероятности безотказной работы приблизительно в 2,4 раза.

Если срок службы ТУ во много раз меньше среднего времени безот­казной работы, то характеристики надежности удобно рассчитывать по уп­рощенным формулам. Разлагая выражение p(t) = e^-t/T в ряд и принимая во внимание только первый член этого ряда, получим:

Эти формулы дают хорошее приближение при λt < 0,1.

При экспоненциальном законе распределения вероятность может быть переписана в следующем виде :

где есть безусловная вероятность безотказной работы ТУ в ин­тервале времени (t_b - t_a).

Таким образом, в период нормальной эксплуатации вероятность без­отказной работы в течение некоторого времени совершенно не зависит от величины наработки данного ТУ, предшествующего отрезку этого време­ни.

Пример. Пусть интенсивность отказа блока питания ЭВМ в период нормальной эксплуатации является практически постоянной величиной и равна 0,021·10 ^-3. Пользу­ясь экспоненциальным законом распределения, определить для времени наработки блока

t = 500 час вероятность безотказной работы, плотность вероятности (частоту) от­казов и среднее время безотказной работы. Согласно теории, получим:

;

;