2.3. Вероятность безотказной работы и вероятность отказов

Надежность как качественная характеристика всегда принималась во внимание при решении различных вопросов эксплуатации и технического обслуживания. Количественное определение надежности появилось с воз­никновением теории надежности. Математической платформой теории на­дежности являются теория вероятностей и математическая статистика. Действительно, отказы в ТУ происходят случайным образом в неожидан­ные моменты времени. Это характерно даже для множества однотипных устройств, изготовленных на одном предприятии и поставленных на экс­плуатацию в одно и то же время. Несмотря на единый проект, одинако­вость технологии производства - каждый из них имеет индивидуальную способность сохранять свои первоначальные качества. Первоначально ка­жется что никакой закономерности в появлении отказов нет. Тем не менее, такая закономерность существует. Проявляется она тогда, когда ведется наблюдение не за одним, а за многими ТУ, находящимися в эксплуатации.

В качестве основной количественной меры надежности ТУ, характе­ризующей закономерность появления отказов во времени, принята веро­ятность безотказной работы.

Вероятность безотказной работы (ВБР) это вероятность того, что за определенное время работы ТУ и в заданных условиях эксплуата­ции отказа не происходит.

Поскольку возникновение отказа является случайным событием, то и время его возникновения t_o - также событие случайное. Поэтому ВБР:

p(t)=p(t_o≥t),

где t - заданное время работы.

Вероятность появления отказа это вероятность противополож­ного события:

q(t) = p(t_o<t).

Но событие отказа и событие безотказности - суть противоположные события. Поэтому, в соответствии со свойством вероятностей противопо­ложных событий, можно записать

p(t) + q(t) = 1.

На практике определяют оценки этих вероятностей. Пусть N - это общее количество однотипных ТУ, эксплуатируемых в течение времени t. За это время N(t) ТУ работало безотказно, а n(t ) - отказало. Таким обра­зом:

N = N(t) + n(t),

то есть через время t общее количество как исправных, так и отказавших ТУ равно первоначальному. Статистическая вероятность безотказной ра­боты определяется выражением

,

а вероятность отказов

.

Найдем сумму этих вероятностей:

что соответствует теоретическим выводам.

Для перехода от p^*(t) и q^*(t) к p(t) и q(t) нужно взять предел от­ношений частот:

Так как N→∞ достичь невозможно, то под этой декларацией на практике можно подразумевать весь парк поставленных на эксплуатацию однотипных ТУ.

Очевидно, что с течением времени общее количество отказов в ТУ увеличивается. Следовательно, увеличиваются и q(t), а, значит, уменьша­ется p(t). Кривые, определяющие характер этих изменений, имеют вид:

Рис. 2.1. Характер изменения кривых p(t) и q(t)

На практике часто необходимо определить надежность ТУ в течение некоторого интервала времени от t_a до t_b (например, в течение периода работы этого устройства) при условии, что оно уже находилось в эксплуа­тации некоторое время t_b. ВБР ТУ за время (t_b - t_a ) при условии, что оно безотказно проработало в течение t_a часов, определяется условной веро­ятностью

.

Эта условная вероятность численно равна вероятности . Дейст­вительно, вероятность того, что объект не отказал в течение времени (t_b -t_a) при условии того, что он безотказно проработал t_a часов, скла­дывается из ВБР в течение t_a часов и ВБР в течение часов от t_a до t_b. Со­гласно понятию условной вероятности,

.

Но p(t_b,t_a) численно равна вероятности того, что ТУ безотказно прора­ботает t_b часов:

p(t_b,t_a) = p(t_b).

Тогда

В частном представлении эта формула примет вид

.

так как

Используя величину вероятности безотказной работы p(t), можно оценить среднее количество элементов или устройств ИС (например, сети, ЭВМ или ее периферии) n(t), которые могут отказать за интервал времени ∆t при известной наработке t :

n(t) = N p(t) - N p(t + ∆t) ,

где N – число исправных элементов ИС в начале ее эксплуатации.