Резервирование при восстановлении основной и резервных цепей

Надежность резервированной аппара­туры, которая в процессе эксплуатации подвергается профилактическим мероприя­тиям и в которой отказавшие узлы аппара­туры восстанавливаются, может быть су­щественно повышена по сравнению с на­дежностью необслуживаемой резервирован­ной аппаратуры. При этом восстановление может осуществляться путем ремонта или замены отказавших цепей. Когда речь идет о восстановлении заменой, подобное вос­становление иногда возможно и в случае необслуживаемой аппаратуры, например при отказе ретрансляционного устройства ИСЗ, предназначенного для связи; это устройство может быть восстановлено путем запуска нового подобного ИСЗ (это, конечно, нецелесообразно экономически). В результате ремонта (замены) отка­завших цепей часто удается восстановить основную или резервные цепи до того, как произойдет отказ всех цепей. Поэтому ре­зерв с восстановлением приводит к значительному повышению надежности по срав­нению с надежностью невосстанавливаемой резервированной аппаратуры.

При решении задач резервирования с восстановлением широко используются мето­ды теории массового обслуживания. С целью иллюстрации применения данных методов рассмотрим один из случа­ев дублирования при нагруженном резерве с восстановлением (основная и резервная цепи после отказа восстанавливаются). Пусть имеется резервированная система, состоящая из элементов А и Б (элемент может быть узлом, блоком, экземпляром аппаратуры), находящихся под нагрузкой. Предположим, что переключатели отсут­ствуют или абсолютно надежны, а потоки отказов и восстановлений элементов явля­ются простейшими, т. е. время безотказной работы и восстановления элементов распре­делено по экспоненциальному закону. Пара­метры потока отказов элементов составляют и , параметры потока восстановле­ний— соответственно М_А и М_Б. Поскольку потоки отказов и восстановлений простейшие, то

= ; = ; М_А = ; М_Б =

При простейшем потоке отказов и вос­становлений общий случайный процесс ра­боты и восстановления рассматриваемой резервированной системы является процес­сом без последействия, т. е. марковским случайным процессом. На рис. 7.10 пред­ставлена схема состояний (гипотез), в ко­торых может находиться резервированная система. Линиями со стрелками показаны направления возможных переходов из од­ного состояния в другое. Сплошные линии соответствуют реальным переходам, при ко­торых состояние системы является в боль­шинстве случаев благоприятным и опреде­ляет безотказную работу системы (но воз­можен переход и к неисправному состоя­нию). Каждый переход осуществляется с соответствующей интенсивностью отказов или восстановлений. Пунктирные линии ука­зывают на возможные переходы, которые, однако, маловероятны или неблагоприятны. Поскольку вероятности соответствующих пе­реходов определяются для небольших про­межутков времени, то маловероятно, напри­мер, ожидать, что одновременно откажут оба элемента (переход от Н₀ к Н₃) или оба одновременно будут восстановлены (пере­ход от Н₃ к Н₀) — потоки отказов и вос­становлений ординарны. Неблагоприятную ситуацию вызывает переход из состояния H₁ в H₂ (или наоборот), когда элемент А может отказать, а элемент Б может быть восстановленным. Действительно, в этом случае, вероятно, следует ожидать перерыва в безотказной работе системы (элемент А отказал, а элемент Б к этому моменту еще не восстановлен).

Рис.7.10. Схема состояний o6служиваемой дуб­лированной системы в случае нагруженного ре­зерва.

Линии, замыкаю­щиеся в одном состоянии, указывают на возможность сохранения в течение некото­рого промежутка времени данного состояния.

Вероятность безотказной работы дан­ной системы за время t равна сумме вероятностей благоприятных событий

P_рез (t) = Р₀ (t) + P₁ (t)+ P₂ (t). (7.10)

где P₀(t) —вероятность того, что элементы А и Б работают в течение времени t безотказно (событие H₀); P₁(t)—вероятность того, что элемент А работает в течение вре­мени t безотказно, а элемент Б находится в ремонте (событие Н₁); P₂(t). — вероят­ность того, что элемент Б работает в течение времени t безотказно, а элемент А на­ходится в ремонте (событие H₂).

Для нахождения этих вероятностей не­обходимо проанализировать работу системы с учетом ее обслуживания. Так, для на­хождения вероятности события Н₀ найдем вероятность P₀(t+ t) того, что в течение промежутка t, t+ t элементы А и Б рабо­тают безотказно. Это может произойти при трех несовместных ситуациях:

1. в произвольный момент времени t оба элемента работают безотказно, а за малый промежуток t, примыкающий к t, ни один из них не отказал;

2. в момент времени t элемент А ра­ботал безотказно, элемент Б находился в ремонте; за промежуток t элемент А не отказал, а элемент Б был восстановлен (произошел переход из H₁ в H₀);

3. в момент времени t элемент Б ра­ботал безотказно, элемент А находился в ремонте; за промежуток t элемент Б не отказал, а элемент А был восстановлен (произошел переход из H₂ в H₀).

Составляя ф-лы для вероятностей каж­дой из указанных ситуаций, можно получить ур-ние связи вероятностей P₀(t), P₁(t) и P₂ (t) с производной величины P₀(t) по времени:

(7.11)

Для составления дифференциальных ур-ний можно пользоваться следующим правилом. Правая часть ур-ния, ха­рактеризующего данное состояние системы при простейшем потоке отказов и восста­новлений, представляет собой алгебраиче­скую сумму произведений, равную числу возможных переходов, причем каждое сла­гаемое равно произведению интенсивности перехода на вероятность состояния, из ко­торого происходит переход; знак слагаемо­го определяется направлением перехода: если линия перехода «уходит» из данного состояния, то перед слагаемым ставится знак «-», если линия перехода «входит» в данное состояние, то ставится знак «+». С учетом этого правила:

(7.12)

Для решения полученной системы ур-ний и нахождения, таким образом, значе­ния P_рез (t) по ф-ле (7.10) обычно применя­ют преобразование Лапласа с учетом очевидных начальных условий: Р₀ (t = 0) = 1; Р₁ (t = 0) = 0; Р₂ (t = 0) = 0.

Процедура вычис­лений громоздка, но применяемые матема­тические приемы широко известны. Окончательная ф-ла для вычисле­ния вероятности безотказной работы за время t при условии, что элементы системы А и Б равнонадежны и однотипны:

где ;

Обычно требуется знать среднюю нара­ботку до отказа (для случая дублирования она практически совпадает с наработкой на отказ Т_ср.рез). Величина Т_0рез определяется значительно проще, чем P_рез (t).

Интегрируя (7.10) в пределах (0, ), находим:

Т_0рез = + +

где

— средняя наработка до отказа системы в состоянии Н₀;

— средняя наработка до отказа в состоя­нии H₁;

— средняя наработка до отказа в состоя­нии H₂.

Для определения значений , и ур-ния (7.11) и (7.12) интегрируют в преде­лах (0, ), с учетом указанных начальных условий:

(7.13)

Решая систему ур-ний и суммируя по­лученные значения , и , окончательно имеем:

где

Если элементы А и Б равнонадежны и однотипны (время восстановления в сред­нем одинаково), т. е. если = = и = = , то формула упрощается:

(7.14)

Наработка на отказ дублированной системы составляет:

Наработка на отказ в общем случае не совпадает со средней наработкой до отказа, поскольку в первом случае на поток отказов влияет характер и интенсивность обслужи­вания аппаратуры, в то время как во вто­ром случае оценка ведется по времени на­работки до первого отказа, и на поток отка­зов обслуживание влияет меньше. Практи­чески же расхождение в результатах незна­чительное.

Коэффициент готовности дублирован­ной системы с восстановлением равен:

где T_в=1/ —среднее время восстановления.

Ф-ла (7.14) дает известное уже значение T_0дубл= Т₀, если исключить восстановление = 0.

Многократное резервирование при на­груженном резерве с восстановлением (основная и резервные цепи однотипны и равнонадежны; обслуживание неограниченное, т. е. отсутствует ограничение по количеству специалистов, обслуживающих аппаратуру; переключатели отсутствуют или абсолютно надежны). В случае, когда кратность резер­вирования т>1, составление и решение системы дифференциальных ур-ний обслу­живания усложняется. Имеется большое число работ, посвященных решению задачи резервирования с восстановлением. При тех исходных предпосылках, кото­рые были положены в основу изложенного выше решения задачи дублирования с вос­становлением, средняя наработка до отказа резервированной системы с нагруженным резервом может быть определена по ф-ле:

(7.15)

где — интенсивность отказов цепей; интенсивность восстановления цепей

На рис. 7.11 иллюстрируется изменение выигрыша в надежности системы (по сред­ней наработке до отказа) в зависимости от отношения / и кратности резервирования. Из графика следует, что уже при двух ре­зервных цепях и достаточно интенсивном обслуживании надежность системы может достигнуть практически абсолютного значе­ния.

Рис. 7.11. Выигрыш в надежности резервирован­ной обслуживаемой системы с нагруженным ре­зервом (без учета надежности переключателей).

Следует иметь в виду, что ф-ла (7.15) получена из условия, что любая отказавшая цепь сразу же подвергается восстановлению. При кратности резервирования m 2 необ­ходимо считаться с наличием ограниченного количества ремонтных бригад (специали­стов). Так, при наличии одной резервной бригады (в частном случае одного специа­листа) имеем:

Многократное резервирование при нeнагруженном резерве с восстановлением (основная и резервные цепи однотипны и равнонадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны). В этом случае, очевидно, может отказать только та цепь, которая находится в рабочем состоянии. Но одновременно в ремонте может находиться несколько цепей. Средняя наработка до от­каза системы при неограниченном обслужи­вании составляет:

(7.16)

Пример. Сравним надежность дублиро­ванной РЭА при нагруженном и ненагруженном включении резерва, если / = 3.

Из (7.15) для нагруженного резерва получаем T_0рез = 3Т₀, а из (7.16) для ненагруженного резерва находим Т_0рез = 5Т₀, т.е. ненагруженный резерв при данном соотно­шении / позволяет увеличить надежность дублированной РЭА в 1,7 раза (по средней наработке до отказа).

Средняя наработка до отказа резерви­рованной РЭА при наличии одной обслу­живающей бригады (специалиста) равна:

. Случай резервирования аппаратуры, со­стоящей из N рабочих элементов и двух ре­зервных элементов, с учетом восстановления (основные и резервные элементы равнона­дежны и имеют одинаковые показатели ремонтопригодности, переключатели отсутст­вуют или абсолютно надежны).

Формулы для различных вариантов включения резер­ва и обслуживания приведены в табл. 5-5.

Таблица 5-5

Расчетные формулы для восстанавливаемой аппаратуры, состоящей из рабочих и двух резервных элементов