5.4. Аналитические зависимости между показателями надежности восстанавливаемых технических устройств

В п. 5.1 был определен показатель надежности - средняя статисти­ческая плотность вероятности. Пусть Δ t_i → 0. Тогда, при переходе от

дискретного времени к непрерывному, определим плотность вероятности отказов восстанавливаемых ТУ:

,

где dn₀(t) = dn(t) - dm(t); dn(t) - число отказов, возникших в ТУ за ин­тервал времени dt, а dm(t) - количество восстановленных ТУ из числа неисправных за этот же интервал времени dt. Отсюда

или

.

Но

,

а величина

называется интенсивностью восстановления отказавших ТУ и обозначает­ся символом μ(t):

.

С учетом этих отношений, ω(t) примет вид

Известно, что для невосстанавливаемых ТУ плотность вероятности отказов аналитически выражается через вероятность безотказной работы, как

Та же зависимость характерна и для восстанавливаемых ТУ, а именно:

Тогда можно записать

При выражении q₀(t) через p₀(t) получается

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

Относительно постоянной интегрирования С можно выдвинуть две версии:

• в момент начала эксплуатации ТУ исправно: p_o(0) =1;

• в момент начала эксплуатации ТУ неисправно: p_o(0) = 0.

Тогда, для случая λ = const и μ = const , при p_o (0) =1 имеем

а при p₀ (0) = 0

Графики изменения и представлены на рисунке.

Рис. 9. Графики изменения p_o (t) при различных начальных условиях

При известных уже допущениях λ = const и μ = const, и, следователь­но,

получим

Тогда

Практически, обычно для установившегося процесса эксплуатации, счита­ют, что

p₀ =K_Г .

Таким образом;

p_э(t) = K_Г p(τ) .

Отсюда

Для оценки вероятности того, что в любой момент времени восста­навливаемое ТУ будет находиться в ремонте, используется функция про­стоя K_П

5.5. Полная вероятность выполнения заданных функций

В том случае, когда λ и μ являются величинами одного порядка,

наиболее точные результаты эксплуатационной надежности можно полу­чить, применяя закон полной вероятности сложного события. Эта вероятность выполнения ТУ заданных функций равна сумме произведений ве­роятности частных событий на вероятность существующих гипотез:

p_ф (t, t_p ) = K_Гp(t) + (1-K_Г )U(t_p )∙p(t-t_p).

Здесь предполагается, что существуют только два состояния: исправное рабочее и восстанавливаемое. Тогда

представляет собой вероятность исправного состояния ТУ;

- вероятность безотказной работы в течении времени t ;

- вероятность неисправного состояния ТУ;

- вероятность восстановления неисправного

состояния ТУ за время t_p;

- вероятность безотказной работы ТУ за оставшееся по­сле ремонта время t - t_p, достаточное для выполнения заданной функции. Подставляя эти значения в исходное выражение, получим

При t >> t_p и T >> T_p разница между P_э и P_ф небольшая, по­этому с достаточной степенью точности можно ограничиться формулой

.

Применять расчет Р_ф(t , t_p) целесообразно, когда T и T_p, а также t и t_p имеют один порядок.

Пример. Для t = 40 час, t_p=10 час найти полную вероятность выполнения задан­ных функций ТУ, среднее время безотказной работы которого Т =100 час, а среднее время восстановления Т_p =20 час, и сравнить с функцией эксплуатационной надежности.

Тогда, а соответствии с полученным выражением, имеем