4.2.2 Критерий Колмогорова

При применении критерия согласия Колмогорова в качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределением рассматривается максимальное значение модуля разности между теоретической и экспериментальной функциями распределения.

На основе этого критерия, экспериментальное распределение согласуется с выбранным теоретическим, если выполняется условие

где – наибольшее отклонение теоретической кривой распределения от экспериментальной;

n – общее количество экспериментальных данных.

Пример.

В табл. 4.4 приведены вероятности отказов по экспериментальным данным и по теоретическому закону F(t). Считаем закон распределения отказов экспоненциальным

Таблица 4.4

t, ч	20	40	60	80	100	120
	0,54	0,7	0,78	0,87	0,93	-
	0,41	0,64	0,77	0,88	0,93	-

Количество экспериментальных данных n = 30

По данным таблицы строим теоретическую и экспериментальную кривые (рис 4.1).

Рис. 4.1 Оценка закона распределения с помощью критерия Колмогорова

Из рисунка и таблицы F = 0.13.

Проверяем по критерию согласия Колмогорова.

Считаем, что закон распределения отказов – экспоненциальный.

Критерий Колмогорова прост и нагляден.

Недостатком критерия является то, что он требует предварительного знания теоретического распределения, т. е. знания не только вида функции распределения F(t), но и ее параметров.

4.3 Оценка доверительных интервалов для показателей надежности.

При ограниченном числе наблюдений рассчитываемые значения показателей надежности содержат элемент случайности, т. е. являются лучшей или худ­шей оценкой истинного значения определяе­мого показателя (математического ожида­ния). Поэтому при обработке опытных данных необходимо не только найти стати­стические значения показателей, но и опреде­лить величину возможной ошибки при за­мене неизвестного истинного значения по­казателя его опытной оценкой. Для харак­теристики точности этой оценки пользуются понятием доверительной вероят­ности, т. е. вероятности того, что истин­ное значение показателя лежит в данном интервале, который называется довери­тельным.

Например, если оценивается средняя наработка до отказа T₀ с помощью опытного значения T*₀, то двусторонний довери­тельный интервал находится из уравнения

где γ — доверительная вероятность; — за­ранее заданное число.

Это уравнение показывает, что неизвестное значение параметра Т₀ с вероятностью γ за­ключено в доверительном интервале [Т*₀ — ; Т*₀ + ].

Двусторонний доверительный интервал используется при оценке показателей на­дежности с заданной достоверностью для определения степени «разбросанности» воз­можных средних значений показателей.

Часто при оценке таких показателей надежности, как, например, наработка на отказ, интенсивность отказов, требуется определить одностороннюю доверительную границу (верхнюю или нижнюю), чтобы признать результаты испытаний на надеж­ность аппаратуры (элементов) удовлетво­ряющими или неудовлетворяющими задан­ным требованиям по контролируемому по­казателю надежности. Нижний предел на­работки на отказ находится по формуле

верхний предел составляет:

Значения двусторонних и односторон­них доверительных интервалов (границ) за­висят, наряду с полученным числом опыт­ных данных и требуемой достоверностью оценок показателей надежности, от закона распределения случайной величины. Рас­смотрим примеры интервальных оценок по­казателей надежности для наиболее рас­пространенных распределений.

Нормальное распределение. Если время безотказной работы аппаратуры распределено по нормальному закону, то доверительный интервал для оценки сред­ней наработки до отказа находится по формуле

где n₀ — число опытов (отказов); — среднее квадратическое отклонение времени безотказной работы; z_у —квантиль нор­мального распределения, соответствующий вероятности γ.

Поскольку в этой формуле вместо неизвестно­го значения подставляется статистиче­ское , то при небольшом числе опытов (меньше 30) и большой дисперсии можно получить ощутимую ошибку. Более точный доверительный интервал в этом случае на­ходится по формуле

где t_γ — квантиль распределения Стьюдента, определяемый по данной вероятности и числу «степеней свободы» k = n₀-1.

Доверительный интервал для неизвест­ного значения дисперсии времени безот­казной работы определяется по формуле

где

— величина, определяемая по таблице ²-распределения при числе степеней свобо­ды k = n₀-1 и вероятности р, приравнивае­мой соответственно величинам /2 или 1 - /2 ( =1- ) — так называемый уровень значимости, оценивающий значимость «до­пускаемой» ошибки.

Экспоненциальное распределение. При простейшем потоке отказов доверительный интервал для оценки пара­метров Т₀ и Т_ср определяется неравенством:

_(4.3)

где t_n — суммарное время наработки аппа­ратуры по n₀ наблюдениям (если аппара­тура невосстанавливаемая, то число п₀ сов­падает с числом наблюдаемых экземпля­ров аппаратуры, у которых были зарегист­рированы отказы);

— величина, определяемая по таблице ²-распределения при числе степеней сво­боды k = 2n₀ и вероятности р, приравнивае­мой соответственно /2 или 1— /2.

Пример1.

Пусть имеется статистический материал по отказам аппаратуры (табл. 4.5). Необходимо найти по данным первой строки табл. 4.5. доверительный ин­тервал для средней наработки до отказа Т₀

10 экз. аппаратуры, если доверительная вероятность =90%.

табл. 4.5

Наработка до отказа, ч
Номер отказа	Экз. №1	Экз. №2	Экз. №3	Экз. №4	Экз. №5	Экз. №6	Экз. №7	Экз. №8	Экз. №9	Экз. №10
1	50	24	72	71	20	123	50	25	45	70
2	220	49	22	50	148	75	74	150	49	148
3	20	74	50	125	75	111	48	220	25	50
4	50	24	100	180	122	124	49	50	95	190
5	48	222	24	100	47	98	120	20	50	46
6	18	23	99	72	98	175	68	73	122	149
7	148	99	23	70	120	25	198	22	24	25
8	75	48	170	200	21	18	245	150	71	100
9	98	99	92	73	93	74	98	—	124	50
10	22	49	148	23	193	172	22	—	100	20
11	200	98	174	24	170	119	125	—	98	72
12	73	—	74	—	23	68	19	—	149	75
13	165	—	—	—	140	72	—	—	48	210
14	98	—	—	—	—	118	—	—	74	—
15	—	—	—	—	—	73	—	—	45	—
16	—	—	—	—	—	148	—	—	—	—
Общая наработка, ч	1283	809	1055	988	1277	1593	1116	710	1119	1409
Число отказов	14	11	12	11	13	16	12	8	15	13
Наработка на отказ, ч	91,6	73,6	88,0	90,0	98,2	99,5	93,0	88,7	74,6	108,3

В соответствии с данными табл. 4.5 значения t_N=550 ч, T*₀ = 55 ч. По табли­цам ²-распределения для числа степеней свободы k = 2n₀=20 и =0,9 определяем:

По (4.3) получим для =0,9:

В данном случае при достоверности 90% неизвестное оцениваемое значение Т₀ лежит в пределах 35—100 ч. Интервал по­лучился слишком большим в связи с явно недостаточным объемом статистического материала (всего 10 наблюдений).

Таблицы ² распределения обычно при­водятся для числа k 30; при числе на­блюдений больше 15 величину (k) нахо­дят по формуле

(4.4)

где — квантиль нормального распределе­ния; Р — вероятность, равная /2 или 1— /2, причем в первом случае в (4.4) бе­рется знак плюс, во втором — минус.

Пример. Найдем по данным табл. 4.3 доверительный интервал для оценки нара­ботки на отказ Т_ср, если доверительная вероятность = 0,9.

В соответствии с данными табл. 4.3 значение суммарной наработки

t_n = 11 319 ч, Т*_ср = 90,5 ч.

По (4.4) найдем значения (k) с учетом того, что при = 0,9 величи­на =1,64:

По (4.3) находим:

т. е. неизвестное значение Т_ср с достовер­ностью 90% находится вблизи от опыт­ного значения Т*_ср = 90,5 ч, в интервале 79,5 96,3 ч.

Сравнение результатов двух последних примеров показывает, насколько большое значение для получения точных показате­лей надежности имеет объем статистическо­го материала.

Часто требуется найти нижнюю (песси­мистическую) доверительную границу для параметра Т₀ (Т_ср ), которая определяется по ф-ле

Верхняя (оптимистическая) граница для параметра Т₀ (Т_ср ) составляет:

Двусторонний доверительный интервал для оценки вероятности безотказной рабо­ты при ориентированных расчетах опреде­ляется по формуле

В случае оценки по нижней односто­ронней границе формула имеет вид:

Нижние односторонние доверительные границы, найденные по результатам испы­таний аппаратуры (элементов) на надеж­ность, позволяют завершить эти испытания выводом о том, соответствует ли данный тип аппаратуры (элемента) требованиям по надежности или нет. Так, если было задано требуемое значение Т_ср.мин = 400 ч, а при испытаниях с заранее согласованной дове­рительной вероятностью установлено, что нижняя доверительная граница Т_ср.н = 410 ч, то данная аппаратура по показа­телю безотказности соответствует установ­ленным требованиям.