2. Ваги ходів нівелювання

Вага виміру – це ступінь довіри до цього виміру. Вага – одне з важливих понять, яким часто оперують при вирішенні задач врівноваження. Правильний підбір ваг дозволяє отримувати значно кращі результати врівноваження мережі та покращити її точність. Неправильний вибір ваг призводить до суттєвих спотворень результатів врівноваження, тому, питання правильного підбору ваг вимірів є дуже важливим і відповідальним завданням.

При застосуванні до врівноваження способу найменших квадратів за вагу, як правило, приймають величину обернено пропорційну до квадрату середньої квадратичної помилки

, (5)

де – вага ходу між точками та ; – середня квадратична помилка цього ходу; – певний коефіцієнт (сталий для усіх вимірів в мережі). Значення коефіцієнта підбирають таким чином, щоб ваги вимірів в мережі не набували надто великих або надто малих значень.

Проблема встановлення ваги виміру полягає у незнанні його реальної середньої квадратичної помилки. Щоб усунути цей недолік для обчислення ваги прийнято використовувати максимально допустиму середню квадратичну помилку, яка може виникнути за даних умов чи при даному виді робіт. Значення цієї помилки регламентується допусками в спеціальних інструкціях та вимогах до виконання геодезичних робіт.

В мережах нівелювання середня квадратична помилка ходу залежить від двох факторів – від довжини ходу і від класу ходу нівелювання. У табл. 1 наведено значення гранично допустимих середніх квадратичних помилок нівелювання для кожного з 4-ох класів нівелювання та технічного нівелювання

Таблиця 1

Максимально допустимі значення середніх квадратичних помилок нівелювання різних класів

Клас нівелювання	І	ІІ	ІІІ	ІV	Технічне нівелювання
Середня квадратична помилка, мм

Аналізуючи табл. 1 можна дійти висновку, що середня квадратична помилка ходу нівелювання може бути представлена так:

, (6)

де – коефіцієнт, який виражає середню квадратичну помилку нівелювання на одиницю довжини ходу (км) і залежить від класу створюваної мережі; – довжина ходу нівелювання в км; – середня квадратична помилка виміряного перевищення в мм.

Згідно з (5), (6) ваги ходів нівелювання можна представляти у такому вигляді:

, (7)

де – довільний коефіцієнт (невід‘ємний і не дорівнює нулю), постійний для усіх ходів нівелювання у мережі, – коефіцієнт, який залежить від класу нівелювання (вибирають з табл.1), – довжина ходу нівелювання між точками та в кілометрах. Значення коефіцієнта слід підбирати таким, щоб вага середнього за довжиною ходу в мережі дорівнювала 1.

3. Основні матричні співвідношення врівноваження геодезичних мереж параметричним способом

У будь-якому випадку геодезичної мережі рівняння поправок можна представити у матричному вигляді

, (8)

де – матриця коефіцієнтів при поправках до висот невідомих точок; – вектор параметрів – поправок до наближених значень висот невідомих точок; – вектор вільних членів; – вектор поправок до виміряних перевищень.

В системі (8) кількість невідомих є меншою за кількість рівнянь, тому ця система (8) не має єдиного розв‘язку. Для знаходження розв‘язку (8) задають додаткову умову – знайти значення невідомих таким чином, щоб сума врівноважених квадратів поправок до вимірів була мінімальною, тобто

. (9)

З рівняння (8) виразимо вектор і підставимо його в наведений вище вираз мінімізації, отримаємо

(10)

Який після розкриття дужок у (10) набуде вигляду:

. (11)

Для відшукання вектора невідомого необхідно вираз (11) продиференціювати по , а отриманий результат прирівняти до нуля, тобто

. (12)

Виконавши елементарні математичні перетворення, одержимо остаточний результат

. (12)

Попередня оцінка (апріорна) точності геодезичної мережі, виконується з аналізу коваріаційної матриці вектора невідомих . Застосовуючи правило перетворення коваріацій до (12), отримаємо

(13)

На головній діагоналі матриці будуть розташовані квадрати середніх квадратичних помилок висот пунктів у найгіршому випадку, тобто коли усі без винятку виміри будуть виконуватись з максимально допустимою помилкою. Слід відразу зауважити, що таку оцінку точності можна робити тільки у випадку, якщо ваги для ходів нівелювання вибирають за формулою (7) та з використанням табл.1. При цьому розмірність діагональних елементів матриці – мм².

Оцінка точності після врівноваження (апостеріорна) тісно пов‘язана з попередньою оцінкою точності. Коваріаційна матриця невідомих після врівноваження має такий вигляд:

, (14)

де – середня квадратична помилка одиниці ваги.

, (15)

де – кількість надлишкових перевищень, – кількість виміряних перевищень у мережі, – кількість точок з невідомими висотами. Ще раз слід нагадати, що квадрати середніх квадратичних помилок висот точок після врівноваження розміщені на головній діагоналі матриці (14).

Крім оцінки точності висот точок можна зробити оцінку точності виміряних перевищень після врівноваження. Для цього знову скористаємось правилом перетворення коваріацій і застосуємо його до рівняння (8), отримаємо

. (16)

З врахуванням (16) середню квадратичну помилку -того перевищення в мережі після врівноваження можна обчислити з співвідношення

, (17)

де – діагональні елементи матриці.

Висновок про якість вимірів у всій мережі можна зробити з порівняння попередньої оцінки точності та оцінки точності після врівноваження. Оскільки при попередній оцінці точності ми отримуємо оцінку точності за максимально несприятливих умов спостережень, тому якщо оцінка точності після врівноваження буде гіршою ніж попередня, то це буде свідчити про те, що в вимірах присутні досить суттєві помилки. З врахуванням цього, можна записати таку нерівність

Оминаючи нескладні математичні спрощення, отримаємо таку нерівність

. (18)

Таким чином, з використанням (18) можна швидко дати відповідь чи відповідають наші виміри за точністю вимогам до нівелювання даного класу (умова (18) виконується) чи ні. Якщо умова (18) не виконується, то можна сказати, що виміри були виконані незадовільно.