3. Метод дск-Пауэлла

Основная идея метода связана с возможностью аппроксимации непрерывной унимодальной функции полиномом и использованием аппроксимирующего полинома для оценивания координаты точки максимума.

Простейшим вариантом полиномиальной интерполяции является квадратичная аппроксимация. Если в точках , , известны соответствующие значения функции , то можно построить интерполяционный полином второй степени:

,

где ;

;

.

Стационарная точка этого полинома определяется уравнением , откуда .

Метод ДСК-Пауэлла включает в качестве начального этапа поиск отрезка, содержащего точку максимума (алгоритм Дэвиса, Свенна и Кэмпи), после чего проводится квадратичная аппроксимация до тех пор, пока с требуемой точностью не будет найдена координата точки максимума функции (алгоритм Пауэлла).

Исходные данные – начальная точка, - шаг поиска, - параметр окончания счета.

1. Вычислить , , .

2. Если , то .

3. , вычислить .

4. ; , вычислить .

5. Если , то и перейти к шагу 4. В противном случае ; ; ; , вычислить .

6. Если , то перейти к шагу 7. В противном случае ; ; .

7. ; ; .

8. Если выполнено одно (или оба) из условий

   1. ,

   2. , то , конец.

9. Если , то , , перейти к шагу 6. В противном случае , , , перейти к шагу 6.

Пример 7.4. Найти точку максимума функции , ; ; .

;

; ; ;

; ;

Так как , то ; ; ; .

.

Итерация 1

Так как , то квадратичная интерполяция будет проводиться по точкам ; ; .

Коэффициенты интерполяционного полинома:

; ,

а точка максимума: ; .

, ; ; .

Итерация 2

Так как , то квадратичная интерполяция будет проводиться по точкам ; ; .

Коэффициенты интерполяционного полинома:

; , а точка максимума: ; .

, следовательно, .

7.4. Методы первого порядка.

1. Метод средней точки

Для отыскания корня уравнения которому удовлетворяет точка максимума унимодальной и дифференцируемой на заданном отрезке функции , будем пользоваться алгоритмом исключения интервалов, на каждой итерации которого рассматривается лишь одна точка .

Если в точке выполняется условие то с учетом предположения об унимодальности можно утверждать, что точка максимума не может находиться левее точки , следовательно, интервал может быть исключен. С другой стороны, если то точка максимума не может находиться правее точки , т.е. исключению подлежит интервал . На этих рассуждениях и основан метод средней точки (поиск Больцано).

Алгоритм метода средней точки

Исходные данные. Точки и такие, что , , – параметр окончания счета.

1. . Вычислить .

2. Если , то , конец.

3. Если , то , перейти к шагу 1. в противном случае , перейти к шагу 1.

Пример 7.5. Найти точку максимума функции на отрезке ; .

.

Итерация 1

; , .

Итерация 2

; , .

Итерация 3

; , .

Итерация 4

; , .

Итерация 5

; , .

Итерация 6

; , .

Итерация 7

; ;

, .