0. 7.2. Поиск отрезка, содержащего точку максимума Алгоритм Свенна

Запишем алгоритм для решения задачи .

Исходные данные: - начальная точка, – шаг поиска .

1. Вычислить ; ; .

2. Если , то , перейти к шагу 4.

3. Если , то , , перейти к шагу 4, в противном случае ; , конец.

4. , вычислить .

5. Если , то , перейти к шагу 4.

6. Если , то ; , конец, в противном случае ; , конец.

Заметим, что случай (шаг 3) не рассматривается, так как он противоречит предположению об унимодальности функции .

Для задачи минимизации алгоритм решения аналогичен.

Пример 7.1. ; ; .

K=1, ;

;

.

Поскольку , , .

Далее .

K=2, , , .

K=3, , , .

K=4, , , .

K=5, , следовательно , ; .

Таким образом, мы получили интервал , в котором лежит точка x*.

Заметим, что эффективность поиска граничных точек непосредственно зависит от величины шага h. Если h велико, то получаем грубые оценки координат граничных точек, и построенный интервал оказывается весьма широким. С другой стороны, если h мало, для определения граничных точек может потребоваться достаточно большой объем вычислений.

Уменьшение длины отрезка, содержащего точку максимума, достигается путем последовательного исключения частей этого отрезка. Величина интервала, исключаемого на каждом шаге, зависит от расположения двух пробных точек внутри отрезка. Поскольку координата точки максимума априори неизвестна, целесообразно размещать пробные точки таким образом, чтобы обеспечивать уменьшение длины отрезка в одном и том же отношении.

После того как установлены границы интервала, содержащего точку оптимума, можно применить более сложную процедуру уменьшения интервала поиска с целью получения уточненных оценок координат оптимума. Величина подынтервала, исключаемого на каждом шаге, зависит от расположения пробных точек и внутри интервала поиска. Поскольку местонахождение точки оптимума априори неизвестно, целесообразно предположить, что размещение пробных точек должно обеспечивать уменьшение интервала в одном и том же отношении. Кроме того, в целях повышения эффективности алгоритма необходимо потребовать, чтобы указанное отношение было максимальным. Подобную стратегию иногда называют минимаксной стратегией поиска [4].

3. Методы нулевого порядка.

   1. Дихотомический поиск (метод деления отрезка пополам)

Рассмотрим задачу

Пробные точки y, z на каждом шаге этого метода выбираются следующим образом:

, , где - параметр метода, .

При малых каждая из пробных точек делит отрезок почти пополам, т.е. исключению будет подлежать почти половина отрезка.

Алгоритм метода дихотомического поиска.

Исходные данные. Отрезок , содержащий точку максимума; параметр и параметр окончания счета .

1. , , .

2. Если , то , конец.

3. , , , .

4. Если , то , , в противном случае , .

5. , перейти к шагу 2.

Пример 7.2. Найти точку максимума функции на отрезке ; ; .

Итерация . k=1,

,

;

; ; ;

, ; .

Итерация 2

,

;

; ; ;

, ; .

Итерация 3

,

;

; ; ;

, ; .

Итерация 4

; .

Таким образом, на каждой итерации дихотомического поиска производится два вычисления значения функции и после n вычислений (n/2 итераций), длина начального интервала уменьшается приблизительно в раз.